Lezione 1. Cos'è la probabilità

In questa lezione

Che cos'è lo spazio degli esiti?
Che cos'è un evento e quali operazioni si possono fare?
Perché non tutti i sottoinsiemi sono eventi?
Che cos'è una σ-algebra?
Come si interpreta una probabilità?
Che cos'è uno spazio di probabilità?
Quali proprietà discendono dalla definizione?
A che cosa serve il teorema di Carathéodory?
Quali sono gli esempi tipici di probabilità?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è lo spazio degli esiti?

Lo spazio degli esiti (spazio campionario, sample space) è l'insieme $\Omega$ di tutti i possibili esiti di un esperimento o di un'osservazione.

Esperimento	Spazio degli esiti
Un lancio di moneta	$\Omega=\{T,C\}$
Tre lanci di moneta	8 parole di 3 lettere: $\{TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC\}$
Apertura alare di un piccione	La semiretta $(0,\infty)$

2. Che cos'è un evento e quali operazioni si possono fare?

Un evento è un sottoinsieme di $\Omega$ . Esempio: «esce almeno due volte testa» in tre lanci è $\{TTT, TTC, TCT, CTT\}$ .

Operazione	Simbolo	Significato
Unione	$E\cup F$	Si verifica un esito di $E$ oppure di $F$
Intersezione	$E\cap F$	Si verifica un esito che sta sia in $E$ sia in $F$
Complementare	$E^c$	Si verifica un esito che non sta in $E$
Insieme vuoto	$\emptyset$	È un evento per definizione
Unione numerabile	$\bigcup_{n\in\mathbb N}E_n$	L'esito sta in almeno uno degli $E_n$

Due eventi sono disgiunti (esclusivi) se $E\cap F=\emptyset$ .

3. Perché non tutti i sottoinsiemi sono eventi?

Se $\Omega$ è finito si prendono come eventi tutti i sottoinsiemi. Se $\Omega$ è più che numerabile (per esempio $\mathbb R$ ) l'insieme delle parti è «troppo grande»: non si riesce a definire bene una probabilità su tutti i sottoinsiemi.

Cardinalità di $\Omega$	Cardinalità delle parti
Finita $k$	$2^k$
Numerabile	Potenza del continuo
Continuo ( $\mathbb R$ )	Maggiore del continuo

Per questo si sceglie una famiglia più piccola di eventi: una σ-algebra.

4. Che cos'è una σ-algebra?

Una famiglia $\mathcal E$ di sottoinsiemi di $\Omega$ è una σ-algebra se:

è chiusa per complementare: $E\in\mathcal E \Rightarrow E^c\in\mathcal E$ ;
è chiusa per unione numerabile: $\{E_n\}\subset\mathcal E \Rightarrow \bigcup_n E_n\in\mathcal E$ .

La σ-algebra generata da una famiglia $\mathcal B$ è la più piccola σ-algebra che contiene $\mathcal B$ . Su $\mathbb R^k$ gli eventi sono i boreliani: la più piccola σ-algebra che contiene tutti gli aperti. Su $\mathbb R$ bastano come generatori le semirette $(-\infty,a)$ e $(b,+\infty)$ .

Conseguenza: anche le intersezioni numerabili sono eventi, perché $\bigcap_n E_n=\left(\bigcup_n E_n^c\right)^c$ .

5. Come si interpreta una probabilità?

Interpretazione	Idea	Dove si usa
Soggettivista	Grado di fiducia che l'evento si verifichi	Scelta della famiglia di modelli $P_\theta$
Frequentista	Frequenza dei successi in tante ripetizioni dell'esperimento	Statistica descrittiva; stima dei parametri

La statistica inferenziale le unisce in due passi: (1) si sceglie una famiglia di probabilità $P_\theta$ che dipende da parametri incogniti; (2) si stima il parametro $\theta_0$ con le frequenze osservate. Esempio: una moneta forse truccata, con $P(T)=p$ . In $n$ lanci ci si aspettano circa $pn$ teste: le frequenze permettono di stimare $p$ .

6. Che cos'è uno spazio di probabilità?

È una terna $(\Omega,\mathcal E,P)$ : spazio degli esiti, σ-algebra degli eventi, probabilità su $\mathcal E$ .

Definizione formale. Una funzione $P:\mathcal E\to[0,\infty)$ è una probabilità se:

$P(\Omega)=1$ ;
per ogni successione di eventi disgiunti $\{E_i\}$ vale l'additività numerabile: $P\Big(\bigcup_{i\in\mathbb N}E_i\Big)=\sum_{i\in\mathbb N}P(E_i).$

Una funzione che soddisfa l'additività solo per unioni finite si dice finitamente additiva: è una richiesta più debole.

7. Quali proprietà discendono dalla definizione?

Proprietà	Formula
Insieme vuoto	$P(\emptyset)=0$
Complementare	$P(E^c)=1-P(E)$
Unione di due eventi	$P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)$
Monotonia	$E\subseteq F\Rightarrow P(E)\le P(F)$
Continuità dal basso	$E_i\subseteq E_{i+1}\Rightarrow \lim_i P(E_i)=P\big(\bigcup_i E_i\big)$
Continuità dall'alto	$E_i\supseteq E_{i+1}\Rightarrow \lim_i P(E_i)=P\big(\bigcap_i E_i\big)$
Sub-additività	$P\big(\bigcup_i E_i\big)\le\sum_i P(E_i)$

Perché la formula dell'unione ha il segno meno. Si scrive $E\cup F$ come unione disgiunta di $E\cap F^c$ , $E\cap F$ , $E^c\cap F$ . Sommando $P(E)+P(F)$ , la parte $E\cap F$ è contata due volte: va tolta una volta.

Monotonia. $F=E\cup(E^c\cap F)$ con pezzi disgiunti, quindi $P(F)=P(E)+P(E^c\cap F)\ge P(E)$ . Anche se $E\subsetneq F$ , può succedere $P(E)=P(F)$ .

8. A che cosa serve il teorema di Carathéodory?

Enunciato (caso $\mathbb R^k$ ). Una funzione con $P(\Omega)=1$ e additività numerabile, definita sui cubi $[a_1,b_1]\times\dots\times[a_k,b_k]$ , si estende in modo unico a una probabilità su tutti i boreliani.

Conseguenza pratica: basta definire la probabilità sugli intervalli (o sui cubi); su tutti gli altri eventi è determinata automaticamente.

9. Quali sono gli esempi tipici di probabilità?

Nome	Definizione	Nota
Bernoulli di parametro $p$	$\Omega=\{T,C\}$ , $P(\{T\})=p$ , $P(\{C\})=1-p$	$p\in[0,1]$
Delta in $\omega$	$\delta_\omega(A)=1$ se $\omega\in A$ , $0$ altrimenti	Tutta la massa in un punto
Combinazione di delta	$P(A)=\sum_n a_n\,\delta_{\omega_n}(A)$ , con $a_n\ge0$ , $\sum_n a_n=1$	Masse $a_n$ nei punti $\omega_n$
Misura di Lebesgue su $[0,1]$	$\mathcal L([a,b])=b-a$	Si estende con Carathéodory
Con densità $f$	$P_f([a,b])=\int_a^b f(t)\,dt$ , $f\ge0$ , $\int_0^1 f=1$	Ogni punto ha probabilità 0
Su $\Omega$ finito	$P(\{\omega_1,\dots,\omega_k\})=\dfrac{\sum_{i=1}^k f(\omega_i)}{\sum_{\omega\in\Omega}f(\omega)}$	Determinata dai valori sui singoli esiti

Con $f=\chi_E/\mathcal L(E)$ (funzione caratteristica di un evento $E$ normalizzata) si ottiene $P_E([a,b])=\dfrac{\mathcal L(E\cap[a,b])}{\mathcal L(E)}$ : la probabilità «uniforme su $E$ ».

10. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Disgiunti non vuol dire complementari. $E\cap F=\emptyset$ non implica $F=E^c$ .
Il meno nella formula dell'unione serve solo se gli eventi non sono disgiunti. Se $E\cap F=\emptyset$ l'ultimo termine vale 0.
Inclusione stretta non dà probabilità strettamente minore. Con una densità, $E=[0,\tfrac12)$ e $F=[0,\tfrac12]$ hanno la stessa probabilità.
Probabilità 0 non vuol dire impossibile. Con una densità ogni singolo punto ha probabilità 0, ma un esito si verifica sempre.
$P(\Omega)=1$ non si deduce dall'additività: è un assioma a parte.

11. Quiz della lezione (10 domande)

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