Lezione 14. Variabili aleatorie assolutamente continue e indipendenza

In questa lezione

1. Che cos'è un vettore aleatorio assolutamente continuo?
2. Che cosa dice il teorema di Fubini-Tonelli?
3. Come si ricavano le densità marginali?
4. Quando le componenti di un vettore continuo sono indipendenti?
5. Qual è la densità della somma di variabili continue indipendenti?
6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
7. Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è un vettore aleatorio assolutamente continuo?

$X=(X_1,\dots,X_n)$ è assolutamente continuo se esiste $f_X\ge0$ su $\mathbb R^n$ con $$P(X\in Q)=\int_Qf_X(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\cdots dx_n$$ per ogni cubo $Q$. Valgono le stesse regole del caso scalare: integrale totale 1, densità definita a meno di insiemi di misura nulla.

2. Che cosa dice il teorema di Fubini-Tonelli?

Se $f\ge0$ misurabile, oppure $\int|f|<\infty$: $$\int_{\mathbb R^n}f=\int_{-\infty}^{\infty}\Big(\int_{\mathbb R^{n-1}}f\,dx_1\cdots dx_{n-1}\Big)dx_n.$$ Un integrale multiplo si calcola come integrali successivi in una variabile.

Applicazione: l'integrale di Gauss.

1. In coordinate polari: $\int_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}=\lim_r\pi(1-e^{-r^2})=\pi$.
2. Per Fubini lo stesso integrale vale $\big(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\big)^2$.
3. Quindi $\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$: la densità normale ha davvero integrale 1.

3. Come si ricavano le densità marginali?

Se $X$ è assolutamente continuo, ogni componente lo è, con densità marginale $$f_i(s)=\int_{\mathbb R^{n-1}}f_X(x_1,\dots,x_{i-1},s,x_{i+1},\dots,x_n)\,dx_1\cdots\widehat{dx_i}\cdots dx_n.$$ Si «integrano via» tutte le altre variabili.

Formula di trasferimento per vettori. $E[g(X)]=\int_{\mathbb R^n}g(x)f_X(x)\,dx$.

4. Quando le componenti di un vettore continuo sono indipendenti?

Proposizione. $X_1,\dots,X_n$ assolutamente continue con densità $f_1,\dots,f_n$ sono indipendenti se e solo se il vettore è assolutamente continuo con densità $$f(x_1,\dots,x_n)=f_1(x_1)\cdots f_n(x_n).$$

Conseguenza. Se le $X_i$ sono indipendenti e i valori medi sono definiti: $$E[g_1(X_1)\cdots g_n(X_n)]=E[g_1(X_1)]\cdots E[g_n(X_n)].$$

5. Qual è la densità della somma di variabili continue indipendenti?

Come nel caso discreto, è una convoluzione. Per due variabili: $$f_{X_1+X_2}(s)=\int_{\mathbb R}f_{X_1}(s-x)\,f_{X_2}(x)\,dx.$$

Somma di Gamma. Il cambio $x=st$ porta a $\int_0^1(1-t)^{\alpha_1-1}t^{\alpha_2-1}dt=\dfrac{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}$: si ottiene come sottoprodotto la formula della funzione Beta.

Nell'enunciato della somma di normali la dispensa scrive $\sum\sigma_i$; la dimostrazione dà $\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$, quindi si sommano le varianze $\sigma_i^2$.

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• Componenti continue non implicano vettore continuo: $(X,X)$ vive su una retta.
• Nella somma di normali indipendenti si sommano le varianze, non le deviazioni standard.
• Le Gamma si sommano così solo con lo stesso $\lambda$.
• $E[XY]=E[X]E[Y]$ richiede indipendenza, a differenza della linearità.
• Fubini richiede $f\ge0$ oppure integrabilità assoluta.

7. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.