Lezione 16. La convergenza di variabili aleatorie

Scheda breve ricostruita. Per questa lezione la dispensa contiene solo i titoli dei video (successioni di v.a., convergenza in probabilità, convergenza in legge). Le definizioni sono quelle usate nelle lezioni 17 e 19.

In questa lezione

Che cos'è una successione di variabili aleatorie?
Quali tipi di convergenza esistono?
Dove si usano questi tipi di convergenza?
Perché la convergenza in legge è la più debole?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è una successione di variabili aleatorie?

Una famiglia $X_1,X_2,\dots$ di v.a. definite sullo stesso spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal E,P)$ . Esempio tipico: le medie campionarie $\bar X_n=\frac1n\sum_{i\le n}X_i$ di prove ripetute.

Ogni $X_n$ è una funzione di $\omega$ : «convergere» può voler dire cose diverse, a seconda di che cosa si chiede che si avvicini (i valori, le probabilità di scostamento, le leggi).

2. Quali tipi di convergenza esistono?

Tipo	Definizione	Che cosa si avvicina
Quasi certa	$P\big(\lim_nX_n=X\big)=1$	I valori $X_n(\omega)$ , per quasi ogni $\omega$
In probabilità	$\lim_nP(\|X_n-X\|>\varepsilon)=0$ per ogni $\varepsilon>0$	La probabilità di uno scostamento grande
In legge	$F_{X_n}(x)\to F_X(x)$ in ogni punto di continuità di $F_X$	Solo le leggi

Gerarchia. Quasi certa $\Rightarrow$ in probabilità $\Rightarrow$ in legge. I viceversa in generale sono falsi.

Eccezione utile. Se il limite è una costante $c$ , in legge e in probabilità coincidono.

3. Dove si usano questi tipi di convergenza?

Risultato	Convergenza	Lezione
Legge forte dei grandi numeri	$\bar X_n\to\mu$ quasi certamente	17
Legge debole dei grandi numeri	$\bar X_n\to\mu$ in probabilità	17
Teorema limite centrale	$\sqrt n(\bar X_n-\mu)/\sigma\to N(0,1)$ in legge	19
Criterio con funzioni test	In legge $\iff E[g(X_n)]\to E[g(X)]$ per $g$ liscia e limitata	19

4. Perché la convergenza in legge è la più debole?

Esempio. $X\sim N(0,1)$ e $X_n=-X$ per ogni $n$ .

$-X$ ha la stessa legge di $X$ (simmetria): $X_n\to X$ in legge, in modo banale.
Ma $|X_n-X|=2|X|$ , quindi $P(|X_n-X|>\varepsilon)=P(|X|>\varepsilon/2)$ non tende a 0: niente convergenza in probabilità.

La convergenza in legge guarda solo le distribuzioni, non i valori delle variabili sullo stesso $\omega$ .

5. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Convergenza in legge non vuol dire che le variabili si avvicinano tra loro.
Nella convergenza in legge contano solo i punti di continuità di $F_X$ .
Quasi certa è più forte di in probabilità, non il contrario.
Il TLC dà convergenza in legge; la legge dei grandi numeri dà convergenza a una costante.

6. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.