Lezione 18. La varianza e i momenti

In questa lezione

Che cosa sono varianza e momenti?
Perché si usa il valor medio del prodotto di variabili indipendenti?
Che relazione c'è tra varianza e varianza campionaria?
Quanto vale la varianza delle leggi discrete principali?
Che cosa sono gli spazi Lᵖ?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cosa sono varianza e momenti?

Nome	Definizione	Condizione
Varianza	$\sigma_X^2=\mathrm{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]$	$E[X^2]<\infty$
Formula di calcolo	$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2$	Si sviluppa il quadrato e si usa la linearità
Momento $n$ -esimo	$m_n=E[X^n]$	$E[\|X\|^n]<\infty$
Caso discreto	$E[X^n]=\sum_{s\in S}s^n\,p_X(s)$	Formula di trasferimento

La varianza misura quanto $X$ si allontana in media dalla sua media. La deviazione standard $\sigma_X$ ha la stessa unità di misura di $X$ .

2. Perché si usa il valor medio del prodotto di variabili indipendenti?

Proprietà. Se $X,Y$ sono indipendenti e $g(X),h(Y)$ hanno valor medio finito: $E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]\,E[h(Y)].$

Idea della prova. Per funzioni a scala il prodotto si scompone sugli eventi $A_i\cap B_j$ , che hanno probabilità $P(A_i)P(B_j)$ . Poi si passa al limite con la convergenza monotona e si trattano parte positiva e negativa.

Conseguenza. Per $X_i$ indipendenti: $\mathrm{Var}(X_1+\dots+X_n)=\mathrm{Var}(X_1)+\dots+\mathrm{Var}(X_n)$ .

3. Che relazione c'è tra varianza e varianza campionaria?

$X_1,\dots,X_n$ i.i.d. con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ .

Statistica	Formula	Valor medio
Media campionaria	$\bar X=\frac1n\sum X_i$	$E[\bar X]=\mu$ ; $E[(\bar X-\mu)^2]=\dfrac{\sigma^2}n$
Varianza campionaria	$S_X^2=\dfrac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$	$E[S_X^2]=\sigma^2$

Perché $n-1$ . Con $\frac1n$ il valor medio sarebbe $\frac{n-1}n\sigma^2$ , cioè sistematicamente più piccolo. Dividere per $n-1$ corregge esattamente questo difetto.

4. Quanto vale la varianza delle leggi discrete principali?

Legge	$E[X]$	$E[X^2]$	$\mathrm{Var}(X)$
Bernoulli $(p)$	$p$	$p$ (perché $X^n=X$ )	$p(1-p)$
Binomiale $(n,p)$	$np$	$np+n(n-1)p^2$	$np(1-p)$
Poisson $(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda(\lambda+1)$	$\lambda$
Uniforme $\{1,\dots,n\}$	$\frac{n+1}2$	$\frac{(n+1)(2n+1)}6$	$\frac{n^2-1}{12}$
Geometrica $(p)$	$\frac1p$	$\frac{2-p}{p^2}$	$\frac{1-p}{p^2}$

Somma dei quadrati (per l'uniforme): da $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ sommato su $k$ e telescopico, $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ .

Controllo con un dado ( $n=6$ ): $\mathrm{Var}=\frac{35}{12}\approx2{,}92$ .

La dispensa calcola qui anche il momento secondo della geometrica come $\frac{2-p}{p^2}$ ; nella lezione 15 lo stesso valore compare scritto come $\frac2{p^2}-\frac1p$ .

5. Che cosa sono gli spazi Lᵖ?

$L^p(\Omega,P)$ , per $p\ge1$ , è l'insieme delle v.a. con $E[|X|^p]<\infty$ . $L^1$ : media finita. $L^2$ : varianza finita.

Proprietà	Enunciato
Inclusione	Se $p<q$ , allora $L^q\subseteq L^p$ (da $\|x\|^p\le1+\|x\|^q$ )
Prodotto in $L^2$	$X,Y\in L^2\Rightarrow XY\in L^1$ (da $\|xy\|\le\frac{x^2+y^2}2$ )
Disuguaglianza di Hölder	$E[\|XY\|]\le E[\|X\|^p]^{1/p}E[\|Y\|^q]^{1/q}$ , con $\frac1p+\frac1q=1$
Spazio vettoriale	Somme e multipli restano in $L^p$ (da $\|x+y\|^p\le2^p(\|x\|^p+\|y\|^p)$ )
Semi-norma	$X\mapsto E[\|X\|^p]^{1/p}$ ; vale 0 anche per $X=0$ quasi certamente

Identificando le v.a. quasi certamente uguali si ottengono spazi normati e completi (di Banach).

Su uno spazio di probabilità l'inclusione va «al contrario» di quanto ci si aspetta: più momenti finiti $\Rightarrow$ meno variabili.

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2$ , non $E[X^2]-E[X]$ .
$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$ : la costante $b$ sparisce e $a$ va al quadrato.
Le varianze si sommano solo per variabili indipendenti (o almeno scorrelate).
Nella varianza campionaria si divide per $n-1$ , per avere valor medio $\sigma^2$ .
Poisson: media e varianza sono uguali a $\lambda$ .

7. Quiz della lezione (10 domande)

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