Lezione 30. Esercitazione sul teorema limite centrale

In questa lezione

1. Qual è il metodo per usare l'approssimazione normale?
2. Quante teste si ottengono con probabilità 99%?
3. Maschi e femmine alla nascita hanno la stessa probabilità?
4. Che cos'è la correzione di continuità?
5. Quanti voti servono per vincere un ballottaggio?
6. Quali altre approssimazioni si ricavano?
7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
8. Quiz della lezione (10 domande)

1. Qual è il metodo per usare l'approssimazione normale?

1. Scrivi la grandezza come somma di $n$ variabili i.i.d.: $S=\sum X_i$.
2. Calcola $E[S]=nE[X_1]$ e $\mathrm{Var}(S)=n\,\mathrm{Var}(X_1)$ (per indipendenza).
3. Standardizza: $Z=\dfrac{S-E[S]}{\sqrt{\mathrm{Var}(S)}}\approx N(0,1)$.
4. Se $S$ è discreta, valuta la correzione di continuità.
5. Leggi $\Phi$ sulla tavola; per valori negativi $\Phi(-t)=1-\Phi(t)$.

2. Quante teste si ottengono con probabilità 99%?

$n$ lanci di una moneta equa: $Y_n\sim\mathrm{Bin}(n,\frac12)$, $E=\frac n2$, $\mathrm{Var}=\frac n4$.

1. $Z=\dfrac{2Y_n-n}{\sqrt n}\approx N(0,1)$.
2. $P(|Z|\le a)=0{,}99$ richiede $\Phi(a)=0{,}995$: $a\approx2{,}576$.
3. Intervallo: $\dfrac n2\pm2{,}576\,\dfrac{\sqrt n}2$.

Esempio: $n=100$: tra circa 37 e 63 teste. L'ampiezza cresce solo come $\sqrt n$.

Le $Y_n$ non sono indipendenti: $P(Y_n=3,Y_{n+1}=1)=0\neq P(Y_n=3)P(Y_{n+1}=1)$.

3. Maschi e femmine alla nascita hanno la stessa probabilità?

Dati 2024 (Italia): 370 000 nati, 190 000 maschi, 180 000 femmine.

1. Ipotesi: $X_i\sim\mathrm{Be}(\frac12)$ (1 = maschio). Allora $\mu=\frac12$, $\sigma=\frac12$.
2. $Z_n=\dfrac{2\sum X_i}{\sqrt n}-\sqrt n=\dfrac{2\cdot190\,000}{\sqrt{370\,000}}-\sqrt{370\,000}\approx16{,}4$.
3. $P(|Z|\ge16{,}4)$ è praticamente 0.

Conclusione: l'ipotesi $p=\frac12$ è molto probabilmente sbagliata; nascono un po' più maschi.

4. Che cos'è la correzione di continuità?

Una variabile discreta a valori interi assegna probabilità ai punti; la normale agli intervalli. Si associa a ogni intero $k$ l'intervallo $[k-0{,}5;\,k+0{,}5]$.

Migliora molto con campioni piccoli o moderati; con campioni enormi conta poco. Per la binomiale serve che $np$ e $n(1-p)$ siano abbastanza grandi.

Esercizio: mancini. Il 9,3% della popolazione è mancino; campione di 100 persone. $P(10\le X\le14)$?

5. Quanti voti servono per vincere un ballottaggio?

18 000 azionisti; una corrente controlla 200 voti; gli altri 17 800 votano a caso.

1. $X\sim\mathrm{Bin}(17\,800;\frac12)$: $E[X]=8900$, $\sigma=\sqrt{4450}\approx66{,}7$.
2. Vittoria se $200+X>9000$, cioè $X>8800$.
3. $P\big(Z>\frac{8800-8900}{66{,}7}\big)=P(Z>-1{,}5)=\Phi(1{,}5)\approx0{,}933$.
4. Con la correzione (8800,5): $\approx0{,}932$. Con $n$ così grande la correzione non cambia quasi nulla.

Per vincere con probabilità 99% servono $k$ voti con $\dfrac k{\sqrt{18\,000-k}}=2{,}326$: $k\approx310$.

Le fluttuazioni casuali sono dell'ordine di $\sqrt n$: 200 voti certi pesano molto più della loro quota (1,1%).

6. Quali altre approssimazioni si ricavano?

Quale approssimazione per la binomiale? $np$ e $n(1-p)$ grandi: normale. $np$ piccolo o moderato: Poisson.

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• Per un intervallo bilaterale al 99% si cerca $\Phi(a)=0{,}995$, non 0,99.
• La deviazione standard della somma è $\sqrt n\,\sigma$, non $n\sigma$.
• La correzione di continuità sposta gli estremi di 0,5 verso l'esterno dell'evento.
• Con $np$ piccolo la normale è scarsa: usa la Poisson.
• Uno scarto di 16 deviazioni standard non è un caso: l'ipotesi va rifiutata.

8. Quiz della lezione (10 domande)

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