Lezione 31. Statistiche, stimatori e stime

In questa lezione

Che cos'è un campione?
Che cos'è la statistica parametrica?
Che differenza c'è tra statistica, stimatore e stima?
Che cos'è una statistica sufficiente?
Che cos'è una statistica sufficiente minimale?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è un campione?

Prima della raccolta, il valore che osserveremo su ogni unità è incerto: lo si rappresenta con una variabile aleatoria.

Termine	Definizione
Campione	Vettore aleatorio $(X_1,\dots,X_n)$ di v.a. indipendenti sullo stesso spazio di probabilità
Numerosità (taglia)	Il numero $n$
Campione semplice	Le $X_i$ hanno anche la stessa legge (i.i.d.)
Realizzazioni	I numeri osservati $x_1,\dots,x_n$ (lettere minuscole)

L'indipendenza rende le osservazioni repliche dello stesso fenomeno. La stessa legge riflette il fatto che tutte descrivono la stessa caratteristica della popolazione.

2. Che cos'è la statistica parametrica?

La legge delle $X_i$ è ignota. Si assume che appartenga a una famiglia nota $\{P_\theta:\theta\in\Theta\}$ , con $\theta$ parametro ignoto e $\Theta$ spazio dei parametri (spesso $\mathbb R$ , $\mathbb R^k$ o un aperto).

Fenomeno	Modello	Parametro ignoto
Altezze, errori di misura	$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$ , $\sigma^2$
Eventi in una finestra di tempo	Poisson	$\lambda$
Tempi di attesa	Esponenziale	$\lambda$

3. Che differenza c'è tra statistica, stimatore e stima?

Termine	Che cos'è	Esempio
Statistica	V.a. $T=g(X_1,\dots,X_n)$ , con $g$ misurabile che non dipende da parametri ignoti	$\bar X=\frac1n\sum X_i$
Stimatore	Statistica usata per stimare un parametro $\theta$	$\bar X$ come stimatore di $\mu$
Stima	Numero $\hat\theta=T(x_1,\dots,x_n)$ , calcolato sui dati osservati	$\bar x=3{,}2$

Esempi fondamentali.

Media campionaria $\bar X$ : stimatore naturale di $\mu=E[X]$ ; converge a $\mu$ per la legge dei grandi numeri.
Varianza campionaria $S^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$ : stimatore di $\sigma^2$ . Con $n-1$ è corretto ( $E[S^2]=\sigma^2$ , lezione 18).

Non-esempio. $\sum(X_i-\mu)^2$ con $\mu$ ignota non è una statistica: dipende da un parametro ignoto.

4. Che cos'è una statistica sufficiente?

Una statistica $T$ è sufficiente per $\theta$ se, sapendo $T=t$ , la legge del campione non dipende più da $\theta$ : $T$ contiene tutta l'informazione su $\theta$ .

Caso	Condizione
Discreto	$\dfrac{p_X(x_1,\dots,x_n;\theta)}{p_T(T(x);\theta)}$ non dipende da $\theta$
Assolutamente continuo	$\dfrac{f_X(x_1,\dots,x_n;\theta)}{f_T(T(x);\theta)}$ non dipende da $\theta$

Criterio di fattorizzazione. $T$ è sufficiente se e solo se $f_X(x;\theta)=g\big(T(x),\theta\big)\,h(x)$ per quasi ogni $x$ , con $h$ che non dipende da $\theta$ .

Esempio aggiunto: Bernoulli. $p_X(x;p)=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}$ : dipende da $p$ solo tramite $\sum x_i$ , che è sufficiente (con $h=1$ ).

Il metodo «a confronto di momenti» ( $E_\theta[g_i(X_1)]$ contro le medie campionarie) è un'alternativa, ma l'inversione può non esistere, non essere unica o essere instabile.

5. Che cos'è una statistica sufficiente minimale?

Il campione intero è sempre sufficiente, ma non riduce i dati. $T$ sufficiente è minimale se per ogni altra statistica sufficiente $S$ esiste $h$ con $T=h(S)$ : è il riassunto più compatto.

Criterio. $T$ è sufficiente minimale se: $\frac{f_X(x;\theta)}{f_X(y;\theta)}\text{ non dipende da }\theta\iff T(x)=T(y).$

Modello	Statistica sufficiente minimale	Motivo
$N(\mu,\sigma^2)$ , $\sigma^2$ nota	$\bar X$ (o $\sum X_i$ )	La densità dipende da $\mu$ tramite $\sum x_i$
$N(\mu,\sigma^2)$ , entrambi ignoti	$\big(\sum X_i,\sum X_i^2\big)$ , equivalente a $(\bar X,S^2)$	$\sum X_i^2=(n-1)S^2+n\bar X^2$
Uniforme su $[\theta,\theta+1]$	$\big(X_{(1)},X_{(n)}\big)$ = (minimo, massimo)	Densità $=\chi\{x_{(n)}-1\le\theta\le x_{(1)}\}$

Lezione dell'uniforme: il parametro è uno solo, ma la statistica sufficiente minimale ha due componenti. La dimensione del parametro non fissa da sola quella della statistica.

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Stimatore e stima non sono la stessa cosa: il primo è una v.a., la seconda un numero.
Una statistica non può contenere parametri ignoti.
Il campione intero è sufficiente ma non minimale (in generale).
Nella fattorizzazione $h$ non deve dipendere da $\theta$ .
Un parametro scalare può richiedere una statistica a due componenti (uniforme su $[\theta,\theta+1]$ ).

7. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.