Lezione 3. La probabilità condizionata

In questa lezione

Che cos'è la probabilità condizionata?
La probabilità condizionata è ancora una probabilità?
Perché i «paradossi» dei condizionamenti ingannano?
Come si calcola la probabilità di più eventi insieme?
Che cosa dice la formula di disintegrazione?
Che legame c'è tra condizionamento e convessità?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è la probabilità condizionata?

Un'informazione parziale sull'esito riduce gli esiti possibili. La probabilità di $A$ condizionata a $B$ , con $P(B)\neq0$ , è

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

Si interseca $A$ con $B$ e si normalizza per $P(B)$ , così che $P(\Omega\mid B)=1$ .

Esempio svolto: due dadi. «Esce almeno un sei» ha probabilità $11/36$ . Se sappiamo che la somma è 9, gli esiti restano $\{(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)\}$ : due su quattro contengono un sei, quindi la probabilità diventa $1/2$ .

2. La probabilità condizionata è ancora una probabilità?

Sì. Fissato $B$ con $P(B)>0$ , la funzione $A\mapsto P(A\mid B)$ è una probabilità su $\Omega$ :

$P(\Omega\mid B)=P(B)/P(B)=1$ ;
$0\le P(A\mid B)\le1$ , perché $A\cap B\subseteq B$ ;
additività numerabile: se gli $E_n$ sono disgiunti, anche gli $E_n\cap B$ lo sono, quindi $P\big(\bigcup_n E_n\mid B\big)=\sum_n P(E_n\mid B)$ .

Conseguenza. Se $P(A_1\mid B)\ge P(A_2\mid B)$ e $P(A_1\mid B^c)\ge P(A_2\mid B^c)$ , allora $P(A_1)\ge P(A_2)$ : basta moltiplicare per $P(B)$ e $P(B^c)$ e sommare.

3. Perché i «paradossi» dei condizionamenti ingannano?

Problema	Esiti compatibili con l'informazione	Risposta	Errore intuitivo
Tre carte (NN, RR, NR): vedo una faccia rossa; l'altra è nera?	Tre facce rosse possibili: due di RR, una di NR	$1/3$	$1/2$
Due figli, «almeno uno è maschio»: l'altro è maschio?	$\{mm, mf, fm\}$	$1/3$	$1/2$
Due figli, «quel figlio specifico (in classe) è maschio»: l'altro è maschio?	$\{mm1, mm2, fm2, mf1\}$	$1/2$	$1/3$

La differenza tra il secondo e il terzo caso: nel secondo l'informazione riguarda la coppia di figli, nel terzo un figlio specifico. Informazioni diverse danno probabilità diverse. Aggiungere informazione può rompere una simmetria.

4. Come si calcola la probabilità di più eventi insieme?

Dalla definizione: $P(E\cap F)=P(E\mid F)\,P(F)$ . Esempio: la nuova sede apre con probabilità $p_1$ e, se apre, la promozione arriva con probabilità $p_2$ ; allora $P(\text{promozione e nuova sede})=p_1p_2$ .

Regola del prodotto (per induzione), se $P(A_1\cap\dots\cap A_n)>0$ :

P\Big(\bigcap_{i=1}^n A_i\Big)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots P\Big(A_n\,\Big|\,\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i\Big).

Esempio svolto: tre lanci di dado. $A$ = «primo pari», $B$ = «secondo maggiore del primo», $C$ = «terzo maggiore del secondo».

$P(A)=1/2$ .
$P(B\mid A)=\dfrac{4+2+0}{18}=\dfrac13$ (se esce 2 restano 4 valori, se 4 ne restano 2, se 6 nessuno).
$P(C\mid A\cap B)=\dfrac{3+2+2}{36}=\dfrac{7}{36}$ .
$P(A\cap B\cap C)=\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac7{36}=\dfrac7{216}$ .

Controllo diretto: le terne favorevoli sono 7 su 216. Per questi problemi aiuta un albero degli esiti.

5. Che cosa dice la formula di disintegrazione?

È nota anche come formula delle probabilità totali. Se $A_1,\dots,A_n$ hanno $P(A_i)>0$ , $P(A_i\cap A_j)=0$ per $i\neq j$ e $P\big(\bigcup_i A_i\big)=1$ , allora per ogni evento $E$ :

P(E)=\sum_{i=1}^n P(E\mid A_i)\,P(A_i).

Vale anche per una famiglia numerabile di eventi $A_i$ .

Esempio svolto: due urne. $U_1$ ha 1 rossa e 2 nere, $U_2$ ha 1 rossa e 1 nera. Si sceglie un'urna a caso e si pesca.

Urna	$P(U_i)$	$P(\text{rossa}\mid U_i)$	Prodotto
$U_1$	$1/2$	$1/3$	$1/6$
$U_2$	$1/2$	$1/2$	$1/4$
Totale	—	—	$5/12$

Prova tu: se l'urna $U_1$ si sceglie con probabilità $p$ ?

Soluzione: $P(\text{rossa})=\frac p3+\frac{1-p}2$ .

6. Che legame c'è tra condizionamento e convessità?

Se $P_1,\dots,P_n$ sono probabilità e $\lambda_i\ge0$ con $\sum_i\lambda_i=1$ , allora $P=\sum_i\lambda_iP_i$ è ancora una probabilità (combinazione convessa). L'insieme delle probabilità su $(\Omega,\mathcal E)$ è quindi convesso.

La formula di disintegrazione scrive $P$ come combinazione convessa delle probabilità condizionate $P(\cdot\mid A_i)$ , con pesi $P(A_i)$ .

Se esiste un evento con $P(E)\in(0,1)$ , allora $P=P(E)\,P(\cdot\mid E)+P(E^c)\,P(\cdot\mid E^c)$ .
Una probabilità è estremale se non è combinazione convessa di altre: deve dare solo valori 0 o 1 a ogni evento.
Su $\mathbb R^n$ o $\mathbb N$ le probabilità estremali sono le delta di Dirac $\delta_\omega$ .

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

$P(A\mid B)\neq P(B\mid A)$ in generale: hanno denominatori diversi.
Condizionare alla coppia o al singolo cambia la risposta: $1/3$ contro $1/2$ nei due problemi dei figli.
Nella disintegrazione gli $A_i$ devono coprire tutto $\Omega$ (a meno di probabilità 0) e non sovrapporsi.
$P(A\mid B)$ richiede $P(B)>0$ .

8. Quiz della lezione (10 domande)

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