Lezione 4. Il teorema di Bayes

In questa lezione

Che cosa dice il teorema di Bayes?
Da dove nasce il teorema?
Perché un test ottimo dà tanti falsi allarmi?
Come si riduce il numero di test con il pool testing?
Che cos'è l'errore del procuratore?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cosa dice il teorema di Bayes?

Per eventi $A,B$ con $P(A),P(B)\in(0,1)$ :

P(A\mid B)=P(B\mid A)\,\frac{P(A)}{P(B)}.

Dimostrazione. $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\cdot\dfrac{P(A)}{P(B)}=P(B\mid A)\dfrac{P(A)}{P(B)}$ .

Messaggio chiave: il condizionamento non è simmetrico. In generale $P(A\mid B)\neq P(B\mid A)$ ; Bayes misura quanto differiscono.

Con la formula di disintegrazione al denominatore si ottiene la forma più usata:

P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B\mid A)\,P(A)+P(B\mid A^c)\,P(A^c)}.

2. Da dove nasce il teorema?

Chi	Quando	Domanda
Pascal e Fermat	Seicento	Dato un modello del caso, qual è la probabilità di un evento? (probabilità «diretta»)
Thomas Bayes	Saggio scritto verso il 1750, pubblicato nel 1763	Visti successi e fallimenti, quanto è probabile che il meccanismo abbia probabilità $p$ ? (usare i dati per scegliere il modello)
Laplace	Inizio Ottocento	Riscopre e sistematizza la teoria; la formula compare nel suo trattato

3. Perché un test ottimo dà tanti falsi allarmi?

Malattia rara: 1 caso su 10 000. Test con sensibilità $P(+\mid\text{malato})=99{,}5\%$ e specificità $P(-\mid\text{sano})=99{,}7\%$ .

Quantità	Definizione	Valore
Falsi positivi	$P(+\mid\text{sano})=1-\text{specificità}$	0,003
Falsi negativi	$P(-\mid\text{malato})=1-\text{sensibilità}$	0,005
Malato se positivo	$P(\text{malato}\mid +)$	$\approx0{,}032$
Malato se negativo	$P(\text{malato}\mid -)$	$\approx5\cdot10^{-7}$

Calcolo con Bayes.

P(\text{malato}\mid +)=\frac{0{,}995\cdot10^{-4}}{0{,}995\cdot10^{-4}+0{,}003\cdot0{,}9999}\approx0{,}032.

Quindi un positivo è sano nel 96,8% dei casi. Il test trova quasi tutti i malati, ma la maggior parte dei positivi è sana. Su 100 000 persone ci sono circa 10 malati e circa 300 positivi.

Il 99,5% è un valore relativo: va confrontato con la diffusione (prevalenza) della malattia.

4. Come si riduce il numero di test con il pool testing?

Idea di Robert Dorfman (1943): si mescolano i campioni di $k$ persone e si fa un test unico. Se il pool è negativo, tutti sono negativi. Se è positivo, si testano i $k$ uno a uno.

Ogni persona è infetta con probabilità $p$ , in modo indipendente (modello con re-immissione, valido se $k\ll n$ ).
Il pool è negativo con probabilità $(1-p)^k$ : 1 test.
È positivo con probabilità $1-(1-p)^k$ : $k+1$ test.
Test medi per persona: $\frac1k+1-(1-p)^k.$
Minimizzando in $k$ si ottiene circa $k\approx1/\sqrt p$ .

Esempio svolto: $p=1\%$ . Con $k=10$ servono circa 0,196 test per persona: circa 20 000 test per 100 000 persone, invece di 100 000.

Ricalcolo: con $p=1\%$ il minimo esatto è a $k=11$ (0,19557 test per persona) contro 0,19562 con $k=10$ . La differenza è trascurabile; la dispensa indica $k=10$ .

5. Che cos'è l'errore del procuratore?

È confondere $P(E\mid I)$ con $P(I\mid E)$ : la probabilità della prova sapendo l'innocenza con la probabilità dell'innocenza sapendo la prova.

Caso 1: omicidio e violenza domestica (ispirato al caso O. J. Simpson).

Argomento della difesa: solo 1 donna maltrattata su 10 000 viene poi uccisa dal marito, cioè $P(A\mid B)\approx10^{-4}$ .
Ma la donna è stata uccisa: la quantità giusta è $P(C\mid A\cap B)$ , con $A$ = «uccisa», $B$ = «maltrattata», $C$ = «uccisa dal marito».
Con i dati italiani 2024 (111 omicidi di donne, 59 dal partner) e $P(B\cap C\mid A)\approx0{,}7$ : $P(C\mid A\cap B)=\frac{1}{1+\frac{P(B\cap C^c\mid A)}{P(B\cap C\mid A)}}\ge\frac1{1+0{,}67}\approx0{,}6.$
Conclusione: l'ordine di grandezza è circa 0,6, non $10^{-4}$ . La difesa sbagliava di quattro ordini di grandezza.

Caso 2: People vs Collins (California, 1968).

L'accusa moltiplica probabilità di tratti generici (barba, coda di cavallo, coppia mista, auto gialla…) e ottiene «1 su 12 milioni».
Errori: probabilità senza base statistica; tratti non indipendenti; soprattutto, 1 su 12 milioni è la probabilità di avere quei tratti, non quella di essere colpevoli.
Con circa $1{,}75\cdot10^6$ coppie a Los Angeles e lettura $P(E\mid I)=1/(12\cdot10^6)$ : $P(\text{colpevole}\mid E)\approx\frac{1}{1+\frac{1/12}{1/1{,}75}}\approx0{,}87.$
Non è «oltre ogni ragionevole dubbio». La Corte Suprema della California ribaltò la condanna.

Lezione comune: un evento rarissimo diventa frequente se la popolazione è grande («legge dei numeri grandi», da non confondere con la Legge dei Grandi Numeri).

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

$P(+\mid\text{malato})$ alto non vuol dire $P(\text{malato}\mid +)$ alto: conta la prevalenza.
Sensibilità e specificità sono probabilità condizionate allo stato vero, non all'esito del test.
Moltiplicare probabilità richiede indipendenza: tratti fisici e comportamenti spesso non lo sono.
«1 su 12 milioni» non è la probabilità di innocenza.
Il pool testing conviene solo con prevalenza bassa: se $p$ è alto quasi tutti i pool risultano positivi.

7. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.