Lezione 6. Esercitazione sulle nozioni di probabilità di base

In questa lezione

1. Qual è il metodo generale per questi esercizi?
2. Come si calcolano due condizionate inverse (studentesse e ingegneria)?
3. Come si risolve l'esercizio dei fusibili difettosi?
4. Come si risolve l'esercizio delle due cassettiere?
5. Che cosa sono permutazioni e cicli?
6. Come si formano le squadre con una permutazione (Trivial Pursuit)?
7. Come si calcola la probabilità che qualcuno peschi il proprio nome (Secret Santa)?
8. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
9. Quiz della lezione (10 domande)

1. Qual è il metodo generale per questi esercizi?

1. Dai un nome agli eventi e scrivi i dati come probabilità (anche condizionate).
2. Riconosci che cosa chiede la domanda: $P(A\mid B)$ o $P(B\mid A)$?
3. Se c'è una scelta a caso «a monte» (urna, ditta, cassettiera), condiziona e usa le probabilità totali.
4. Per «almeno uno» passa al complementare.
5. Per invertire un condizionamento usa Bayes.
6. Controlla che il risultato sia tra 0 e 1 e abbia senso.

2. Come si calcolano due condizionate inverse (studentesse e ingegneria)?

Dati: $A$ = «studentessa», $P(A)=0{,}57$; $B$ = «iscritto a ingegneria informatica», $P(B)=0{,}087$; $P(A\cap B)=0{,}041$.

3. Come si risolve l'esercizio dei fusibili difettosi?

Due ditte con uguale produzione: $a$ difettosi allo 0,05%, $b$ allo 0,01%. Si scelgono a caso due fusibili, in modo indipendente.

1. Il primo è difettoso: anche il secondo? Per l'indipendenza è $P(\text{difettoso})=\frac12(0{,}0005+0{,}0001)=0{,}0003$.
2. Il primo è difettoso: viene da $a$? Bayes: $\dfrac{\frac12\cdot0{,}0005}{0{,}0003}\approx0{,}833$.
3. Almeno uno difettoso: almeno uno viene da $a$? Con $C$ = «entrambi funzionano», $E$ = «entrambi da $b$»: $P(C)=0{,}9997^2$, $P(E)=\frac14$, $P(C\mid E)=0{,}9999^2$. Allora $$P(E^c\mid C^c)=1-\frac{(1-P(C\mid E))\,P(E)}{1-P(C)}\approx0{,}917.$$

Con un modello senza re-immissione l'indipendenza non varrebbe più.

4. Come si risolve l'esercizio delle due cassettiere?

Cassettiera 1: due cassetti con 4 monete d'argento e 1 d'oro ciascuno. Cassettiera 2: un cassetto con 5 ori, uno con 5 argenti. Si sceglie una cassettiera a caso, poi un cassetto, e si estraggono 3 monete.

1. Probabilità totali: $P(\text{3 argenti})=\frac12\big(\frac25+\frac12\big)=\frac9{20}=0{,}45$.
2. Sapendo di aver pescato 3 argenti, probabilità di almeno un oro pescando 3 monete dall'altro cassetto: $$P(B\mid A)=\frac{\frac35\cdot\frac15+1\cdot\frac14}{\frac9{20}}=\frac{37}{45}\approx0{,}82.$$

Nella cassettiera 1 l'altro cassetto dà almeno un oro con probabilità $1-\frac25=\frac35$; nella 2 l'altro cassetto è quello di soli ori.

5. Che cosa sono permutazioni e cicli?

$S_n$ è l'insieme dei riordinamenti di $\{1,\dots,n\}$ (funzioni biunivoche): $|S_n|=n!$. Con probabilità uniforme $P(A)=|A|/n!$.

Iterando una permutazione $\sigma$ ogni elemento torna su sé stesso: $\{1,\dots,n\}$ si divide in cicli disgiunti. Il più piccolo $k$ con $\sigma^k=\text{identità}$ è il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli.

6. Come si formano le squadre con una permutazione (Trivial Pursuit)?

Si mescolano le carte con i numeri dei giocatori: ogni squadra è un ciclo della permutazione.

Conteggio per due cicli. Scelgo la lunghezza $k$ del ciclo, i suoi elementi $\binom nk$, il suo ordine $(k-1)!$, l'ordine dell'altro ciclo $(n-k-1)!$; divido per 2 perché i due cicli si possono scambiare.

Controllo con $n=5$: 50 permutazioni con due cicli su 120, cioè $H_4/5=0{,}417$.

Nota: nella dispensa la somma finale è scritta fino a $\lfloor(n-1)/2\rfloor$; il conteggio corretto dà $H_{n-1}/n$, con lo stesso andamento asintotico $\log n/n$.

7. Come si calcola la probabilità che qualcuno peschi il proprio nome (Secret Santa)?

Serve la formula di inclusione-esclusione per eventi non disgiunti:

1. $A_i$ = «la persona $i$ pesca il proprio nome» = $\{\sigma(i)=i\}$.
2. Ogni intersezione di $i$ eventi lascia liberi $n-i$ elementi: probabilità $(n-i)!/n!$.
3. Ci sono $\binom ni$ intersezioni di $i$ eventi, quindi $$P(\text{almeno un punto fisso})=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i!}\xrightarrow[n\to\infty]{}1-e^{-1}\approx0{,}632.$$

La convergenza è rapidissima: i termini decrescono come un fattoriale.

Refuso della dispensa: $1-e^{-1}\approx0{,}632$, non 0,623.

8. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• Leggi bene chi è condizionato a chi: «studia informatica: è femmina?» è $P(A\mid B)$.
• Nelle urne a più livelli condiziona sul primo livello (cassettiera, ditta) e usa le probabilità totali.
• Dopo un'informazione (3 argenti) le probabilità dei livelli cambiano: si divide per $P(A)$.
• Nel conteggio dei due cicli ogni permutazione è contata due volte: si divide per 2.
• Eventi non disgiunti: per l'unione serve inclusione-esclusione, non la somma.

9. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.