Lezione 7. Le variabili aleatorie

In questa lezione

Che cos'è una variabile aleatoria?
Che cos'è la legge di una variabile aleatoria?
Quando due variabili aleatorie sono «uguali»?
Che cos'è la funzione di ripartizione?
Che cos'è una variabile aleatoria discreta?
Qual è la densità della somma di due dadi?
Quali sono le leggi discrete più usate?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è una variabile aleatoria?

Una funzione $X:(\Omega,\mathcal E)\to(\mathcal X,\mathcal F)$ è misurabile se $X^{-1}(F)\in\mathcal E$ per ogni $F\in\mathcal F$ . Una variabile aleatoria (v.a.) è una funzione misurabile definita su uno spazio di probabilità.

Notazione: $\{X\in F\}=X^{-1}(F)=\{\omega:X(\omega)\in F\}$ . La misurabilità garantisce che questi insiemi siano eventi, quindi si può calcolarne la probabilità. Si scrive $P(X\in A,X\in B)$ per $P(\{X\in A\}\cap\{X\in B\})$ .

Perché servono. Non si costruisce mai davvero $\Omega$ (come si lancia la moneta, con che forza…): si osservano solo alcune funzioni dell'esito e si assume la loro legge. Per aggiungere un esperimento basta aggiungere una nuova v.a.

2. Che cos'è la legge di una variabile aleatoria?

La legge (misura immagine) di $X$ è la probabilità su $(\mathcal X,\mathcal F)$ definita da

X_*P(F)=P(X\in F)=P\big(X^{-1}(F)\big).

È una probabilità: $X_*P(\mathcal X)=P(\Omega)=1$ e le preimmagini di insiemi disgiunti sono disgiunte, quindi vale l'additività numerabile.

Esempio: indicatrice. Dato un evento $A$ , $X=\chi_A$ vale 1 su $A$ e 0 fuori. La legge è determinata da $P(A)$ : $P(X=1)=P(A)$ , $P(X=0)=1-P(A)$ .

V.a. diverse possono avere la stessa legge: nelle prove ripetute tutte le indicatrici dei successi $C_k$ hanno legge Bernoulli di parametro $p$ (lo si vede con il binomio di Newton $\sum_j\binom nj p^j(1-p)^{n-j}=1$ ).

3. Quando due variabili aleatorie sono «uguali»?

Relazione	Definizione	Implica
Quasi certamente uguali	$P(X\neq Y)=0$	Stessa legge
Stessa legge	$P(X\in F)=P(Y\in F)$ per ogni $F$	Anche $g(X)$ e $g(Y)$ hanno la stessa legge, per $g$ misurabile

Il viceversa non vale: stessa legge non implica uguaglianza quasi certa. Esempio: in due lanci, «testa al primo» e «testa al secondo» hanno la stessa legge ma sono diverse.

Esempio della dispensa. $\Omega=\{1,2,3,4\}$ con $P(\{1\})=P(\{2\})=\frac12$ , $P(\{3\})=P(\{4\})=0$ ; $X_1=\chi_{\{1,3\}}$ , $X_2=\chi_{\{1\}}$ . Differiscono solo in 3, che ha probabilità 0: $P(X_1\neq X_2)=0$ .

4. Che cos'è la funzione di ripartizione?

Per una v.a. reale: $F(x)=P(X\le x).$ Determina la legge e viceversa.

Proprietà di $F$	Formula
Limiti	$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ , $\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$
Monotonia	Crescente (non decrescente)
Continuità	Continua da destra: $\lim_{y\to x^+}F(y)=F(x)$
Limite da sinistra	$\lim_{y\to x^-}F(y)=P(X<x)$
Salto	$P(X=x)=F(x)-\lim_{y\to x^-}F(y)$

Ogni funzione con le prime tre proprietà è la ripartizione di un'unica probabilità su $\mathbb R$ (teorema di Carathéodory sugli intervalli $(a,b]$ ).

Percentili. Il $k$ -esimo percentile è ogni $x$ con $F(x^-)\le k/100\le F(x)$ . Si legge sul grafico di $F$ con una retta orizzontale. È unico solo se $F$ è strettamente crescente.

5. Che cos'è una variabile aleatoria discreta?

$X$ è discreta se esiste $S$ al più numerabile con $P(X\in S)=1$ . La sua densità discreta è $p_X(s)=P(X=s),\qquad s\in S,$ e determina la legge: $P(X\in A)=\sum_{s\in A\cap S}p_X(s)$ .

La ripartizione di una v.a. discreta è costante a tratti; i punti di $S$ sono esattamente i punti di salto, e il salto in $s_k$ vale $p_X(s_k)$ .

Ogni funzione $p\ge0$ con $\sum_\omega p(\omega)=1$ definisce una probabilità discreta.

6. Qual è la densità della somma di due dadi?

$X=X_1+X_2$ , con $X_1,X_2$ uniformi su $\{1,\dots,6\}$ e indipendenti. Per ogni $k\in\{2,\dots,12\}$ :

P(X=k)=\sum_{j=1}^6P(X_1=k-j)\,P(X_2=j)=\frac{\min(k-1,\;13-k)}{36}.

Densità della somma di due dadi (in trentaseiesimi)

$k$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$36\,P(X=k)$	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

7. Quali sono le leggi discrete più usate?

Legge	Notazione	Densità	Uso tipico
Bernoulli	$X\sim\mathrm{Be}(p)$	$p(1)=p$ , $p(0)=1-p$	Successo / insuccesso
Binomiale	$X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$	$\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ , $k=0,\dots,n$	Numero di successi in $n$ prove indipendenti (somma di $n$ Bernoulli)
Uniforme discreta	$X\sim U(n)$	$1/n$ , $k=1,\dots,n$	Esiti equiprobabili (un dado)
Poisson	$X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$	$\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $k\in\mathbb N$	Eventi rari in un intervallo di tempo (chiamate, decadimenti)

8. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Stessa legge non vuol dire stessa variabile: due lanci diversi hanno la stessa legge.
$F(x)=P(X\le x)$ con il «minore o uguale»: per le discrete $P(X<x)$ e $P(X\le x)$ differiscono del salto.
$F$ è continua da destra, non da sinistra.
Il percentile può non essere unico se $F$ ha tratti piatti.
Nella somma di due dadi i valori non sono equiprobabili: 7 è il più probabile (6/36).

9. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.