Lezione 9. Esercitazione sulle variabili aleatorie discrete

In questa lezione

1. Quando una funzione è la densità di una variabile aleatoria discreta?
2. Come si ricava la densità da una funzione di ripartizione a gradini?
3. Chi vince al gioco del primo che fa testa?
4. Che cos'è l'urna di Pólya?
5. Che cos'è la legge multinomiale?
6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
7. Quiz della lezione (10 domande)

1. Quando una funzione è la densità di una variabile aleatoria discreta?

Servono due condizioni: $p(x)\ge0$ per ogni $x$ e $\sum_x p(x)=1$.

Esercizio svolto. $p(0)=c_1$, $p(n)=\dfrac{c_1\lambda^n}{n!}-\dfrac{c_2^2}{n^3}$ per $n\ge1$, con $\lambda>0$.

1. Positività: $n^3\dfrac{c_1\lambda^n}{n!}\ge c_2^2$ per ogni $n$. Il lato sinistro tende a 0, quindi serve $c_2=0$ e $c_1\ge0$.
2. Somma 1: $c_1\sum_n\dfrac{\lambda^n}{n!}=c_1e^\lambda=1\Rightarrow c_1=e^{-\lambda}$. È la densità di Poisson$(\lambda)$.
3. Valore più probabile: $\dfrac{p(n+1)}{p(n)}=\dfrac{\lambda}{n+1}$. La densità cresce finché $n+1<\lambda$. Il massimo è in $n=\lfloor\lambda\rfloor$; se $\lambda\in\mathbb N$, sia $\lambda$ sia $\lambda-1$ sono massimi.

2. Come si ricava la densità da una funzione di ripartizione a gradini?

Esercizio svolto. $F(x)=0$ per $x<0$; $\frac12$ su $[0,1)$; $\frac23$ su $[1,2)$; $\frac{11}{12}$ su $[2,3)$; 1 per $x\ge3$.

$F$ è crescente, continua da destra, con limiti 0 e 1: è una ripartizione. È costante a tratti, quindi $X$ è discreta e i salti sono le probabilità.

3. Chi vince al gioco del primo che fa testa?

Gioco 1. A e B lanciano a turno una moneta con $P(\text{testa})=p$; comincia A; vince chi fa testa per primo.

1. Istante della prima testa: $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$, legge geometrica di parametro $p$.
2. A vince se $T$ è dispari: $$p_0=P(T\text{ dispari})=\sum_{k\ge0}(1-p)^{2k}p=\frac{p}{1-(1-p)^2}=\frac1{2-p}.$$
3. $\frac1{2-p}>\frac12$ per ogni $p\in(0,1]$: chi comincia è sempre avvantaggiato.

Gioco 2. Una moneta preliminare (testa con probabilità $p_1$) decide chi comincia. Per le probabilità totali $$P(\text{A vince})=p_1p_0+(1-p_1)(1-p_0).$$ Il gioco è equo ($=\frac12$) se e solo se $p_1=\frac12$.

Anche nel gioco equo, «croce alla moneta preliminare» e «vince A» non sono indipendenti: $P(\text{croce, vince A})=\frac{1-p_0}2\neq\frac14$, perché $p_0>\frac12$.

4. Che cos'è l'urna di Pólya?

Si parte con 1 bianca e 1 nera. A ogni turno si estrae una pallina e la si rimette con un'altra dello stesso colore. $X_n$ = numero di bianche dopo $n$ estrazioni, con valori in $\{1,\dots,n+1\}$.

1. Si condiziona al passo precedente: $$P(X_n=k)=\frac{n-k+1}{n+1}P(X_{n-1}=k)+\frac{k-1}{n+1}P(X_{n-1}=k-1).$$
2. $X_1$ è uniforme su $\{1,2\}$; $X_2$ su $\{1,2,3\}$; $X_3$ su $\{1,2,3,4\}$.
3. Per induzione: se $X_{n-1}$ è uniforme su $\{1,\dots,n\}$, $$P(X_n=k)=\frac1n\cdot\frac{(n-k+1)+(k-1)}{n+1}=\frac1{n+1}.$$

Risultato sorprendente: $X_n$ è uniforme su $\{1,\dots,n+1\}$ per ogni $n$.

5. Che cos'è la legge multinomiale?

$n$ prove indipendenti, ognuna con $r$ esiti possibili di probabilità $p_1,\dots,p_r$ ($\sum_jp_j=1$). $N_j$ = numero di prove con esito $j$.

Densità multinomiale di parametri $(n,p_1,\dots,p_r)$, per $k_j\ge0$ con $\sum_jk_j=n$:

Il coefficiente nasce da scelte successive: $\binom n{k_1}\binom{n-k_1}{k_2}\cdots=\dfrac{n!}{k_1!\cdots k_r!}$.

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• Una densità deve essere positiva ovunque oltre a sommare a 1.
• $P(X<3)$ e $P(X\le3)$ differiscono del salto in 3.
• Nel gioco a turni chi comincia vince con probabilità $\frac1{2-p}$, non $\frac12$.
• Le marginali multinomiali sono binomiali ma il vettore non ha componenti indipendenti.
• Nell'urna di Pólya le estrazioni non sono indipendenti, eppure $X_n$ è uniforme.

7. Quiz della lezione (10 domande)

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