Lezione 10. Il valor medio

In questa lezione

1. Da dove nasce il valor medio?
2. Come si definisce il valor medio?
3. Quali proprietà ha il valor medio?
4. Che cosa dice il teorema di convergenza monotona?
5. Come si calcola il valor medio negli esempi?
6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
7. Quiz della lezione (10 domande)

1. Da dove nasce il valor medio?

Si lancia un dado $n$ volte. La media campionaria è $$\frac{x_1+\dots+x_n}n=\frac{1\cdot\#1+2\cdot\#2+\dots+6\cdot\#6}{n},$$ dove $\#k$ è il numero di volte in cui esce $k$. Per $n$ grande la frequenza $\#k/n$ è vicina a $P(X=k)$, quindi la media si avvicina a $$\sum_k k\,P(X=k).$$

Il valor medio è la controparte probabilistica della media campionaria: una media degli esiti pesata con le probabilità. Più un esito è probabile, più pesa.

2. Come si definisce il valor medio?

Qui $X^+=\max(X,0)$ e $X^-=\max(-X,0)$, quindi $X=X^+-X^-$. Nel sup si possono usare solo variabili con un numero finito di valori («funzioni a scala»).

Perché non basta la formula discreta. Con la misura di Lebesgue su $[0,1]$ ogni punto ha probabilità 0, ma ci si aspetta media $\frac12$.

Differenza con Riemann. Le funzioni a scala usano eventi qualsiasi, non solo intervalli. Per questo la funzione che vale 1 sui razionali e 0 altrove ha valor medio 0 (i razionali hanno misura nulla), mentre non è integrabile secondo Riemann.

Esempi. Costante quasi certa: $E[X]=c$. Indicatrice: $E[\chi_A]=P(A)$.

Il valor medio dipende solo dalla legge: due v.a. con la stessa legge hanno lo stesso valor medio (finito o no).

3. Quali proprietà ha il valor medio?

La linearità vale senza ipotesi di indipendenza.

4. Che cosa dice il teorema di convergenza monotona?

Enunciato. Se $0\le X_1\le X_2\le\dots$ e $X_n(\omega)\to X(\omega)$ per ogni $\omega$, allora $$\lim_{n\to\infty}E[X_n]=E[X].$$

Permette di passare al limite sotto il segno di valor medio. Serve, per esempio, a dimostrare la linearità nel caso generale: si approssimano $X$ e $Y$ con variabili discrete crescenti, per cui la linearità è già nota, e si passa al limite.

5. Come si calcola il valor medio negli esempi?

Lotteria. $n$ biglietti: $n_1$ perdenti, $n_2$ vincono 1, $n_3$ vincono $m$. $$E[X]=\frac{n_2}n+m\frac{n_3}n.$$ Con $n_2/n=0{,}1$, $n_3/n=10^{-4}$ e $m=10^6$: $E[X]\approx100$. Probabilità di vincita basse possono dare un valor medio alto.

Media campionaria di un dado. Per linearità $E\big[\frac1n\sum X_i\big]=E[X_1]=3{,}5$.

Lotto (5 numeri giocati, 5 estratti su 90). $X$ = numeri indovinati: $P(X=k)=\binom5k\binom{85}{5-k}\big/\binom{90}5$.

Puntando 1 euro sull'ambo (premio base circa 25), con $j$ numeri indovinati si realizzano $\binom j2$ ambi: $$E[\text{vincita}]=25\sum_{j\ge2}\binom j2P(X=j)\approx0{,}62<1.$$

Ricalcolo: la probabilità di una cinquina è $1/\binom{90}5\approx2{,}3\cdot10^{-8}$ (la dispensa scrive $4{,}4\cdot10^{-8}$). Le vincite attese per terna, quaterna e cinquina sono ricalcolate con i premi indicati nella dispensa.

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• Il valor medio può non essere un valore possibile: per un dado vale 3,5.
• Per variabili con segno serve che $E[X^+]$ o $E[X^-]$ sia finito, altrimenti $E[X]$ non è definito.
• La linearità non richiede indipendenza.
• Probabilità 0 per ogni punto non vuol dire media 0: serve la definizione con il sup.
• Un premio enorme non rende conveniente il gioco: nel Lotto la vincita attesa è minore della puntata.

7. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.