Lezione 11. Il valore atteso e l'integrale di Lebesgue

In questa lezione

Che cos'è l'integrale di Lebesgue su [0,1]?
Che cosa sono gli insiemi di misura nulla?
Che cos'è il completamento di una σ-algebra?
Che cosa dice il teorema di Lebesgue sulle funzioni integrabili secondo Riemann?
Quando si possono scambiare limite e valor medio?
Come si usano i teoremi di convergenza negli esercizi?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è l'integrale di Lebesgue su [0,1]?

Si prende lo spazio $([0,1],\mathcal B([0,1]),\mathcal L)$ , dove $\mathcal L([a,b])=b-a$ . Ogni funzione misurabile $f:[0,1]\to\mathbb R$ è una v.a.; il suo valor medio si chiama integrale di Lebesgue di $f$ .

Fatto chiave. Se $f$ è misurabile e integrabile secondo Riemann, allora è integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.

La somma inferiore $I_-(f,\pi)$ è il valor medio di una funzione a scala $X_\pi\le f$ ; la superiore è il valor medio di $Y_\pi\ge f$ .
Per monotonia $E[X_\pi]\le E[f]\le E[Y_\pi]$ .
Sup e inf sulle partizioni danno entrambi $\int_0^1 f$ , quindi $E[f]=\int_0^1f$ .
Per $f$ di segno qualsiasi si applica il ragionamento a $f^+$ e $f^-$ .

2. Che cosa sono gli insiemi di misura nulla?

$A\subset\mathbb R^n$ ha misura nulla se per ogni $\varepsilon>0$ esiste una famiglia numerabile di cubi $Q_k$ con $A\subseteq\bigcup_kQ_k$ e $\sum_k\mathrm{Vol}(Q_k)\le\varepsilon$ .

Esempio	Misura nulla?
Un punto, un insieme numerabile (i razionali)	Sì
Ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla	Sì
Un intervallo $[a,b]$ con $a<b$	No

Il problema. Gli insiemi di misura nulla sono «più» dei Boreliani: esistono insiemi di misura nulla che non sono Boreliani, quindi strettamente non misurabili.

3. Che cos'è il completamento di una σ-algebra?

Uno spazio $(\Omega,\mathcal E,P)$ è completo se ogni sottoinsieme di un evento di probabilità 0 è un evento.

Si aggiungono ai Boreliani tutti gli insiemi di misura nulla: $\overline{\mathcal B}([0,1])=\sigma\big(\mathcal B([0,1])\cup\{N:N\text{ di misura nulla}\}\big),\qquad\mathcal L(N)=0.$ Ogni elemento si scrive $A=A'\cup N$ , con $A'$ boreliano e $N$ di misura nulla, e si pone $\mathcal L(A)=\mathcal L(A')$ .

In analisi la «misura di Lebesgue» è di solito questa estensione, definita su tutto $\mathbb R$ o $\mathbb R^n$ .

4. Che cosa dice il teorema di Lebesgue sulle funzioni integrabili secondo Riemann?

Teorema. Se $f:[0,1]\to\mathbb R$ è integrabile secondo Riemann, esiste $N$ di misura nulla tale che $f$ è continua su $[0,1]\setminus N$ .

Conseguenza. Ogni funzione Riemann-integrabile è misurabile rispetto al completamento dei Boreliani. Quindi l'integrale di Lebesgue generalizza davvero quello di Riemann.

Su $\mathbb R$ la misura di Lebesgue non è finita; grazie alla convergenza monotona il suo integrale estende anche l'integrale improprio di funzioni non negative. Nei calcoli si usano le solite regole di Analisi.

5. Quando si possono scambiare limite e valor medio?

Risultato	Ipotesi	Tesi
Convergenza monotona	$0\le X_n\le X_{n+1}$ , $X_n\to X$	$E[X_n]\to E[X]$
Convergenza dominata	$X_n\to X$ , $\|X_n\|\le Y$ con $E[Y]<\infty$	$E[X_n]\to E[X]$
Lemma di Fatou	$X_n\ge0$	$E[\liminf_nX_n]\le\liminf_nE[X_n]$

Controesempio. $f_n=n$ su $(0,\frac1n)$ , 0 altrove. $f_n\to0$ in ogni punto, ma $\int_0^1f_n=1$ per ogni $n$ . Limite degli integrali $=1>0=$ integrale del limite. Non esiste una $Y$ integrabile che domini tutte le $f_n$ .

Fatou descrive questa perdita di massa: al limite la massa può solo diminuire, mai aumentare.

Catena delle dimostrazioni. Convergenza monotona $\Rightarrow$ Fatou (con $Y_n=\inf_{k\ge n}X_k$ , crescente) $\Rightarrow$ convergenza dominata (Fatou applicato a $X_n+Y$ e a $Y-X_n$ ).

6. Come si usano i teoremi di convergenza negli esercizi?

Esercizio	Teorema	Risultato
$\displaystyle\lim_n\int_0^1\frac{1+nx^2}{(1+x)^n}dx$	Dominata: limite puntuale 0 in $(0,1]$ , funzioni limitate	0
$\displaystyle\int_0^1-x^p\log x\,dx$	Monotona: si tronca su $[\frac1n,1-\frac1n]$ e si integra per parti	$\dfrac1{(p+1)^2}$
$\displaystyle\lim_n\int_0^1f(x^n)e^{-x}dx$ , $f$ limitata e continua in 0	Dominata: limite puntuale $f(0)e^{-x}$	$f(0)(1-e^{-1})$

Controllo. Con $p=1$ : $\int_0^1-x\log x\,dx=\frac14$ .

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Convergenza puntuale non basta per scambiare limite e integrale: serve monotonia o dominazione.
La dominante deve essere una sola, indipendente da $n$ , e con valor medio finito.
Fatou dà solo una disuguaglianza e vale per variabili non negative.
Misura nulla non vuol dire vuoto: i razionali sono infiniti e densi ma hanno misura 0.
Ci sono funzioni integrabili secondo Lebesgue ma non secondo Riemann (l'indicatrice dei razionali), non il viceversa per funzioni misurabili.

8. Quiz della lezione (10 domande)

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