Lezione 12. Variabili aleatorie assolutamente continue

In questa lezione

1. Che cos'è una variabile aleatoria assolutamente continua?
2. Che differenza c'è tra discreta e assolutamente continua?
3. Quando una funzione di ripartizione ha una densità?
4. Che cos'è la legge uniforme continua?
5. Che cos'è la legge esponenziale?
6. Che cosa sono la funzione Γ e la legge Gamma?
7. Che cos'è la legge normale?
8. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
9. Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è una variabile aleatoria assolutamente continua?

$X$ reale è assolutamente continua se esiste $f_X\ge0$ integrabile con $$P(X\le x)=\int_{-\infty}^xf_X(t)\,dt\quad\text{per ogni }x.$$ $f_X$ si chiama densità di $X$.

Esempio. $f_n=n$ su $(0,\frac1n)$: integrale 1, ma $f_n$ vale $n$, molto più di 1.

La densità è definita a meno di insiemi di misura nulla: cambiarla in pochi punti non cambia la legge.

2. Che differenza c'è tra discreta e assolutamente continua?

Una v.a. non può essere entrambe le cose. Può anche non essere né l'una né l'altra (per esempio un mix di salti e tratti continui, o la funzione di Cantor).

3. Quando una funzione di ripartizione ha una densità?

Criterio sufficiente. Se $F$ è una ripartizione di classe $C^1$ fuori da un insieme discreto di punti ben separati, allora $X$ è assolutamente continua con densità $f=F'$.

Continua non basta: la funzione di Cantor.

1. Insieme di Cantor $C$: da $[0,1]$ si toglie il terzo centrale, poi il terzo centrale di ogni pezzo, e così via. $\mathcal L(C)=\lim_k(2/3)^k=0$.
2. Si costruisce $f$ continua, crescente, con $f(0)=0$, $f(1)=1$, costante fuori da $C$.
3. Se fosse $f(t)=\int_{-\infty}^tg$, allora $g=0$ fuori da $C$; ma $C$ ha misura 0, quindi $f\equiv0$. Assurdo.

$f$ è la ripartizione di una legge singolare. La condizione esatta per avere densità si chiama assoluta continuità di $F$.

4. Che cos'è la legge uniforme continua?

Su $[a,b]$ limitato: $$f_X(s)=\frac1{b-a}\chi_{[a,b]}(s),\qquad F(x)=\begin{cases}0&x\le a\\\dfrac{x-a}{b-a}&a\le x\le b\\1&x\ge b\end{cases}$$

La probabilità di un sotto-intervallo dipende solo dalla sua lunghezza. Non esiste l'uniforme su un intervallo illimitato: l'integrale non può valere 1.

5. Che cos'è la legge esponenziale?

$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$, $\lambda>0$: $$f_X(s)=\lambda e^{-\lambda s}\ (s\ge0),\qquad P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad P(a\le X\le b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.$$

Modella tempi di attesa (arrivo di un autobus, vita di un componente). Più $\lambda$ è grande, più la densità si concentra vicino a 0.

Assenza di memoria. $$P(X\ge s+t\mid X\ge s)=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X\ge t).$$ Aver già atteso $s$ non cambia la legge del tempo residuo. Per questo l'esponenziale ignora l'usura.

6. Che cosa sono la funzione Γ e la legge Gamma?

Funzione Γ di Eulero, per $\alpha>0$: $\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$.

Legge Gamma $X\sim\Gamma(\alpha,\lambda)$: $$f_X(s)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}s^{\alpha-1}e^{-\lambda s},\quad s>0.$$ $\alpha$ conta gli eventi da attendere, $\lambda$ ne fissa la frequenza. Con $\alpha=1$ si ritrova l'esponenziale.

7. Che cos'è la legge normale?

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $\sigma>0$: $$f_X(s)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{-\frac{(s-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$$ $\mu$ trasla il grafico; $\sigma$ lo allarga o lo stringe.

La dispensa scrive a volte $N(\mu,\sigma)$ e a volte $N(\mu,\sigma^2)$: il secondo parametro della densità sopra è la varianza $\sigma^2$.

8. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• La densità continua non è una probabilità: può superare 1; conta il suo integrale.
• $P(X=x)=0$ non vuol dire che $x$ sia impossibile.
• Ripartizione continua non implica densità: controesempio di Cantor.
• Per le continue $P(X\le x)=P(X<x)$; per le discrete no.
• Nella normale controlla se il secondo parametro è $\sigma$ o $\sigma^2$.

9. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.