Lezione 15. Esercitazione sul valor medio

In questa lezione

Quanto vale il valor medio delle leggi discrete principali?
Come si usa la linearità con le indicatrici (Secret Santa)?
Come si calcola il valor medio di minimo e massimo?
Quando si possono scambiare due serie?
Come si calcola il valor medio di una somma con un numero aleatorio di termini?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Quanto vale il valor medio delle leggi discrete principali?

Legge	Densità	$E[X]$	Metodo
Bernoulli $\mathrm{Be}(p)$	$p(1)=p$ , $p(0)=1-p$	$p$	Definizione
Binomiale $\mathrm{Bin}(n,p)$	$\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$	$np$	Somma di $n$ Bernoulli + linearità
Poisson $(\lambda)$	$e^{-\lambda}\lambda^k/k!$	$\lambda$	Si toglie un fattore $\lambda$ e si riconosce $e^\lambda$
Uniforme su $\{1,\dots,n\}$	$1/n$	$\frac{n+1}2$	$\sum i=\frac{n(n+1)}2$
Geometrica $\mathrm{Geom}(p)$	$p(1-p)^{k-1}$ , $k\ge1$	$\frac1p$	Derivata della serie geometrica

Geometrica. È l'istante del primo successo in prove indipendenti di probabilità $p$ . Derivando $\sum_k(1-x)^k=\frac1x$ si ottiene $\sum_kk(1-x)^{k-1}=\frac1{x^2}$ , quindi $E[X]=p\cdot\frac1{p^2}=\frac1p$ . Inoltre $E[X^2]=\frac2{p^2}-\frac1p$ .

2. Come si usa la linearità con le indicatrici (Secret Santa)?

$X$ = numero di persone che pescano il proprio nome, su permutazioni uniformi di $n$ persone.

Si scrive $X=\sum_{i=1}^nA_i$ , con $A_i=1$ se $\pi(i)=i$ .
$E[A_i]=P(\pi(i)=i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n$ .
Per linearità $E[X]=n\cdot\frac1n=1$ , per ogni $n$ .

Le $A_i$ non sono indipendenti, ma la linearità non lo richiede.

3. Come si calcola il valor medio di minimo e massimo?

Formula delle code. Per $Z$ a valori in $\{0,1,\dots,n\}$ : $E[Z]=\sum_{k=1}^nP(Z\ge k).$

Esercizio. $X,Y$ indipendenti, uniformi su $\{0,\dots,n\}$ ; $Z=\min(X,Y)$ .

$P(Z\ge k)=P(X\ge k)^2=\Big(\dfrac{n-k+1}{n+1}\Big)^2$ .
$E[Z]=\dfrac1{(n+1)^2}\sum_{j=1}^nj^2=\dfrac{n(2n+1)}{6(n+1)}$ .
$\min+\max=X+Y$ , quindi $E[\max]=n-E[Z]=\dfrac{n(4n+5)}{6(n+1)}$ .

Controllo con $n=1$ (due monete 0/1): $E[\min]=\frac14$ , $E[\max]=\frac34$ .

4. Quando si possono scambiare due serie?

Criterio	Ipotesi	Conclusione
Serie positive	$a_{i,j}\ge0$	$\sum_i\sum_j=\sum_j\sum_i$ , anche se infinite
Convergenza assoluta	$\sum_i\sum_j\|a_{i,j}\|<\infty$	$\sum_i\sum_j=\sum_j\sum_i$

Somma di Poisson indipendenti. Con la convoluzione e il binomio di Newton: $\mathrm{Poisson}(\lambda)+\mathrm{Poisson}(\mu)\sim\mathrm{Poisson}(\lambda+\mu).$

5. Come si calcola il valor medio di una somma con un numero aleatorio di termini?

$N\sim\mathrm{Geom}(p)$ ; $Y_i\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ ; tutte indipendenti; $X=\sum_{i=1}^NY_i$ .

Condizionando su $N=l$ : $P(X=k)=\sum_lp(1-p)^{l-1}e^{-\lambda l}\dfrac{(\lambda l)^k}{k!}$ (somma di $l$ Poisson).
Termini positivi: si scambiano le serie e si somma prima su $k$ .
Risultato: $E[X]=\lambda\,E[N]=\dfrac\lambda p$ .

Formula di trasferimento discreta. $E[g(X)]=\sum_xg(x)\,p_X(x)$ , se la serie converge assolutamente. Con essa: $E[X^2]=\lambda^2E[N^2]+\lambda E[N]=\lambda^2\Big(\frac2{p^2}-\frac1p\Big)+\frac\lambda p.$

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Geometrica: la media è $1/p$ , non $p$ . Con $p=\frac16$ servono in media 6 lanci per il primo 6.
Uniforme su $\{1,\dots,n\}$ : $\frac{n+1}2$ ; su $\{0,\dots,n\}$ : $\frac n2$ .
La linearità funziona anche con indicatrici dipendenti (punti fissi).
Scambiare due serie richiede positività o convergenza assoluta.
Nella somma con $N$ aleatorio, $E[X]=E[N]E[Y_1]$ usa l'indipendenza tra $N$ e le $Y_i$ .

7. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.