Lezione 19. Il teorema limite centrale

In questa lezione

1. Che cosa dice il teorema limite centrale?
2. Come si usa il TLC in un calcolo?
3. Quando l'approssimazione normale è buona?
4. Quanto è veloce la convergenza?
5. Come si caratterizza la convergenza in legge?
6. Come si dimostra il TLC con il principio di Lindeberg?
7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
8. Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cosa dice il teorema limite centrale?

La legge dei grandi numeri dice che $\bar X_n\to\mu$. Il teorema limite centrale (TLC) dice come $\bar X_n$ si distribuisce intorno a $\mu$.

Enunciato. $X_1,X_2,\dots$ i.i.d. con $E[X_i]=\mu$ e $0<\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty$. Allora $$Z_n=\frac{\sqrt n\,(\bar X_n-\mu)}\sigma\xrightarrow{\;d\;}N(0,1),$$ cioè converge in legge (le ripartizioni convergono nei punti di continuità).

La legge di partenza delle $X_i$ può essere qualsiasi: per questo la normale compare ovunque in statistica.

2. Come si usa il TLC in un calcolo?

Esempio aggiunto. 100 lanci di una moneta equa; $S$ = numero di teste. $\mu=50$, $\sigma=\sqrt{100\cdot\frac14}=5$.

1. Si standardizza: $P(S>55)\approx P\big(Z>\frac{55-50}5\big)=P(Z>1)\approx0{,}159$.
2. Valore esatto (binomiale): $0{,}136$.
3. Con la correzione di continuità ($55{,}5$ al posto di 55): $P(Z>1{,}1)\approx0{,}136$.

3. Quando l'approssimazione normale è buona?

Esempio della dispensa. Con $X_i\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$, $S_n\sim\Gamma(n,\lambda)$. La densità della media standardizzata non dipende da $\lambda$ ed è ancora visibilmente asimmetrica per $n=30$.

4. Quanto è veloce la convergenza?

Teorema di Berry-Esseen. Se $\rho=E[|X_i-\mu|^3]<\infty$, esiste una costante universale $C$ con $$\sup_x|F_n(x)-\Phi(x)|\le C\frac{\rho}{\sigma^3\sqrt n},$$ dove $F_n$ è la ripartizione di $Z_n$ e $\Phi$ quella di $N(0,1)$. L'errore è dell'ordine $1/\sqrt n$.

Code pesanti. Se $P(|X|>x)\sim C/x^\alpha$, il momento $E[|X|^k]$ è finito se e solo se $\alpha>k$.

5. Come si caratterizza la convergenza in legge?

Teorema. $X_n\to X$ in legge se e solo se $E[g(X_n)]\to E[g(X)]$ per ogni $g$ di classe $C^k$ limitata con derivate limitate.

6. Come si dimostra il TLC con il principio di Lindeberg?

Prova elementare, con momento terzo finito.

1. Lemma. $U,X,Y$ indipendenti, $E[X]=E[Y]=0$, $E[X^2]=E[Y^2]$: con Taylor al terzo ordine $|E[g(U+X)]-E[g(U+Y)]|\le C_g\big(E|X|^3+E|Y|^3\big)$. I termini di ordine 1 e 2 si cancellano.
2. Scambio uno alla volta. Si passa da $X_1,\dots,X_n$ a $Y_1,\dots,Y_n$ sostituendo un termine per volta (somma telescopica).
3. Ogni scambio costa $O(n^{-3/2})$ (il termine è diviso per $\sqrt n$); gli scambi sono $n$: errore totale $O(1/\sqrt n)\to0$.
4. Si sceglie $Y_i\sim N(0,1)$: $\frac1{\sqrt n}\sum Y_i\sim N(0,1)$ esattamente. Quindi il limite è la normale standard.

La prova moderna usa la funzione caratteristica (trasformata di Fourier), con strumenti più avanzati.

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• Il TLC richiede varianza finita e positiva, non solo media finita.
• Si standardizza con $\sigma/\sqrt n$, non con $\sigma$.
• La convergenza è in legge, non quasi certa: $Z_n$ non converge a un valore.
• $n\ge30$ è una regola empirica, non un teorema: con leggi asimmetriche può non bastare.
• Il TLC riguarda la media (o la somma), non le singole $X_i$, che restano con la loro legge.

8. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.