Lezione 20. Riepilogo dei comportamenti asintotici

Scheda breve ricostruita. Per la lezione 20 non c'è la dispensa nel materiale ricevuto e il titolo non è noto. La scheda riassume le lezioni 16–19, senza contenuti nuovi.

In questa lezione

Quali strumenti offre questa sezione?
Quale strumento scegliere in un esercizio?
Come si confrontano Chebyshev e TLC sullo stesso problema?
Quali formule bisogna ricordare?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Quali strumenti offre questa sezione?

Strumento	Ipotesi	Che cosa dà
Markov	$E[\|X\|]<\infty$	$P(\|X\|\ge\varepsilon)\le E[\|X\|]/\varepsilon$
Chebyshev	Varianza finita	$P(\|X-\mu\|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/\varepsilon^2$
Legge dei grandi numeri	i.i.d., media finita	$\bar X_n\to\mu$
Teorema limite centrale	i.i.d., varianza finita e positiva	$\bar X_n\approx N(\mu,\sigma^2/n)$

2. Quale strumento scegliere in un esercizio?

Serve un limite certo, valido per ogni legge? Usa Chebyshev (o Markov se conosci solo la media).
Serve sapere dove si stabilizza una media? Usa la legge dei grandi numeri.
Serve una probabilità approssimata per una somma o una media? Standardizza e usa il TLC.
Controlla le ipotesi: indipendenza, stessa legge, momenti finiti.

3. Come si confrontano Chebyshev e TLC sullo stesso problema?

Esempio aggiunto. 100 lanci di moneta equa, $S$ = teste: $\mu=50$ , $\sigma=5$ . Probabilità di uno scostamento di almeno 10 dalla media.

Metodo	Calcolo	Risultato
Chebyshev	$25/10^2$	$\le0{,}25$ (garantito)
TLC	$P(\|Z\|\ge2)$	$\approx0{,}046$ (approssimato)
Valore esatto (binomiale)	$P(\|S-50\|\ge10)$	$\approx0{,}057$

Chebyshev è sicuro ma largo; il TLC è vicino al valore vero ma è un'approssimazione.

4. Quali formule bisogna ricordare?

Quantità	Formula
Media della media campionaria	$E[\bar X_n]=\mu$
Varianza della media campionaria	$\sigma^2/n$
Varianza campionaria corretta	$S^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$ , $E[S^2]=\sigma^2$
Standardizzazione	$Z_n=\sqrt n(\bar X_n-\mu)/\sigma$
Velocità (Berry-Esseen)	Errore $O(1/\sqrt n)$ con momento terzo finito

5. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Chebyshev dà una maggiorazione, il TLC un'approssimazione: non sono la stessa cosa.
Senza varianza finita il TLC classico non si applica.
La deviazione standard della media scende come $1/\sqrt n$ : per dimezzarla servono 4 volte più dati.
Le medie convergono, le singole osservazioni no.

6. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.