Lezione 23. Simmetria, asimmetria e legge normale

In questa lezione

Che cosa dice la disuguaglianza di Chebyshev per i dati?
Come si misura l'asimmetria di una distribuzione?
Che cos'è la distribuzione normale?
Che cosa dice la regola 68–95–99,7?
Da dove viene il nome «normale»?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cosa dice la disuguaglianza di Chebyshev per i dati?

Campione $x_1,\dots,x_n$ con media $\bar x$ e deviazione standard $\sigma$ . $c_\lambda$ = numero di dati con $|x_i-\bar x|\le\lambda\sigma$ .

\frac{c_\lambda}n\ge1-\frac{n-1}{n\lambda^2}\ge1-\frac1{\lambda^2}.

Dimostrazione. $(n-1)\sigma^2=\sum(x_i-\bar x)^2\ge\sum_{\text{dati lontani}}(x_i-\bar x)^2\ge(n-c_\lambda)\lambda^2\sigma^2$ .

Versione unilaterale. $d_\lambda$ = numero di dati con $x_i-\bar x\le\lambda\sigma$ : $\frac{d_\lambda}n\ge1-\frac1{\lambda^2+1}.$ Si dimostra traslando i dati di $b$ e scegliendo $b=\sigma/\lambda$ . Il lato destro è sempre positivo.

La disuguaglianza vale per ogni distribuzione, quindi di solito non è ottimale: la quota reale di dati vicini alla media è più alta.

2. Come si misura l'asimmetria di una distribuzione?

Un data set è simmetrico rispetto a $y_0$ se con $x_i$ contiene $2y_0-x_i$ con la stessa frequenza; allora media = mediana = $y_0$ . Nella pratica la simmetria esatta è rara, e molti metodi (test parametrici, modelli lineari) assumono dati quasi simmetrici.

Indice	Formula	Lettura
Fisher (skewness)	$g_1=\dfrac n{(n-1)(n-2)}\displaystyle\sum_i\Big(\frac{x_i-\bar x}\sigma\Big)^3$	$g_1>0$ : coda pesante a destra; $g_1<0$ : a sinistra
Groeneveld-Meeden	$Sk_{GM}=\dfrac{\bar x-m}{\frac1n\sum_i\|x_i-m\|}$	Differenza media − mediana, rapportata allo scostamento dalla mediana $m$

Entrambi valgono 0 su una distribuzione simmetrica.

Stesso indice, cause diverse. Nella dispensa due data set hanno $g_1=-0{,}79$ : il primo è quasi simmetrico con un solo outlier a −3,8; il secondo ha una decina di punti spostati intorno a −5. Come per la varianza, l'indice da solo non dice la causa.

3. Che cos'è la distribuzione normale?

Per $\mu\in\mathbb R$ , $\sigma>0$ : $f_{\mu,\sigma}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$ Il grafico è a campana, simmetrico intorno a $\mu$ , con integrale 1.

Densità normale standard (μ = 0, σ = 1)

Un campione è gaussiano se il suo istogramma di densità (frequenza relativa divisa per l'ampiezza della classe) si avvicina a questa curva.

Esempio	Perché è circa normale
Tavola di Galton	La posizione finale di una pallina somma molti urti indipendenti a destra o a sinistra
Altezza degli adulti (campione CDC di 9 569 uomini)	Combinazione di molti geni: tanti piccoli contributi
Punteggi QI	Normalizzati con media 100 e deviazione standard 15
Rendimenti finanziari	Prima approssimazione; i dati reali hanno spesso code più pesanti

4. Che cosa dice la regola 68–95–99,7?

Intervallo	Chebyshev (ogni distribuzione)	Normale
$\bar x\pm1\sigma$	$\ge0\%$	$\approx68\%$
$\bar x\pm2\sigma$	$\ge75\%$	$\approx95\%$
$\bar x\pm3\sigma$	$\ge88{,}9\%$	$\approx99{,}7\%$

Esempio. QI con media 100 e $\sigma=15$ : circa il 95% delle persone ha un punteggio tra 70 e 130.

5. Da dove viene il nome «normale»?

Anno	Chi	Contributo
1733	De Moivre	La binomiale con molte prove ha forma a campana
1809	Gauss	Legge degli errori di misura in astronomia (massima verosimiglianza)
Poco dopo	Laplace	La curva è il limite di somme di molti eventi indipendenti
Fine '800	Galton, Pearson	Uso in biologia e scienze sociali; nasce il nome «normale», da norma = regola

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Chebyshev con $\lambda=1$ non dice nulla ( $\ge0\%$ ).
La regola 68–95–99,7 vale solo per dati circa normali; per gli altri vale solo Chebyshev.
$g_1>0$ vuol dire coda a destra, non massa a destra.
Un solo outlier può dare lo stesso $g_1$ di un intero gruppo spostato.
Per confrontare un istogramma con la gaussiana serve la densità (frequenza/ampiezza), non la frequenza.

7. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.