Lezione 24. Misure di frequenza: moda e percentili

In questa lezione

1. Che cos'è la moda?
2. Che cosa sono percentili e quartili?
3. Come si definiscono gli outlier con i quartili?
4. Come si calcolano i percentili della normale?
5. Quali indici di asimmetria usano moda e quartili?
6. Come si costruisce un box plot?
7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
8. Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è la moda?

La moda è il valore più frequente del data set. Se più valori hanno la frequenza massima si dicono valori modali (distribuzione multimodale).

Usi. Marketing (colore o taglia più venduti, canale di acquisto preferito); medicina (età più comune di insorgenza di una malattia).

Regola qualitativa di Pearson (moda $m$, mediana $me$, media $\mu$): $m<me<\mu$ suggerisce asimmetria a destra; $\mu<me<m$ asimmetria a sinistra.

2. Che cosa sono percentili e quartili?

Il $k$-esimo percentile è un valore maggiore o uguale ad almeno il $k\%$ dei dati e minore o uguale ad almeno il $(100-k)\%$. Se non è unico, si prende la media dei valori possibili.

Calcolo con i dati ordinati $x_1\le\dots\le x_n$:

1. Calcola $r=kn/100$.
2. Se $r$ non è intero, il percentile è $x_{\lceil r\rceil}$ (arrotondamento per eccesso).
3. Se $r$ è intero, il percentile è $\frac{x_r+x_{r+1}}2$.

Esempio. Dati $1,1,1,1,1,2,2,2,2,50$: 33° percentile: $r=3{,}3\to x_4=1$. 50° percentile: $r=5\to\frac{x_5+x_6}2=1{,}5$.

Usi. Test standardizzati (INVALSI, SAT, GRE, GMAT); curve di crescita dei bambini; disuguaglianza di reddito (P10, P50, P90 e rapporto P90/P10 dell'OCSE). Con l'impact factor delle riviste i dati si ordinano al contrario: Q1 è il 25% di riviste migliori.

3. Come si definiscono gli outlier con i quartili?

Intervallo interquartile: $IQR=Q_3-Q_1$. Contiene il 50% centrale dei dati: piccolo = dati concentrati.

Esempio: BPM di 100 pazienti (lezione 21). $Q_1=67$, $Q_2=68$, $Q_3=70$, $IQR=3$. Soglie moderate: 62,5 e 74,5; estreme: 58 e 79.

• Outlier moderati: 54, 58, 75, 80.
• Outlier estremo: 88.

Controllo con la normale. $Q_1\approx\mu-0{,}674\sigma$, $Q_3\approx\mu+0{,}674\sigma$, $IQR\approx1{,}35\sigma$. Le soglie moderate cadono a circa $\mu\pm2{,}7\sigma$ (circa 0,7% dei dati); quelle estreme a circa $\mu\pm4{,}7\sigma$ (circa 0,0002%).

4. Come si calcolano i percentili della normale?

1. Si usa la funzione di ripartizione $\Phi_{\mu,\sigma}(s)=\int_{-\infty}^sf_{\mu,\sigma}(x)\,dx$: il percentile $\alpha$ è $x_\alpha$ con $\Phi_{\mu,\sigma}(x_\alpha)=\alpha$.
2. Si standardizza: $\Phi_{\mu,\sigma}(s)=\Phi_0\big(\frac{s-\mu}\sigma\big)$. Basta la tabella della normale standard.
3. Per i percentili sotto il 50° si usa la simmetria: $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$.

Esempio. 70° percentile della normale standard: circa 0,52; quindi il 30° è circa −0,52.

La dispensa legge 0,53 nella tabella; il valore più vicino a 0,70 è $\Phi(0{,}52)=0{,}6985$, quindi $z_{0{,}70}\approx0{,}524$.

5. Quali indici di asimmetria usano moda e quartili?

BPM: Bowley $=\frac{70+67-136}3\approx0{,}33$; Kelly $=\frac{72+65-136}{7}\approx0{,}14$ (con $D_1=65$, $D_9=72$).

Confronto della dispensa.

Fisher è il più sensibile agli outlier (valori grandi in modulo). Kelly supera Bowley quando le code sono lunghe.

6. Come si costruisce un box plot?

1. Calcola $Q_1,Q_2,Q_3$.
2. Disegna la scatola da $Q_1$ a $Q_3$ e una linea in $Q_2$.
3. Disegna i baffi fino al dato più estremo entro $Q_1-1{,}5\,IQR$ e $Q_3+1{,}5\,IQR$ (o fino a minimo e massimo se non ci sono outlier).
4. Segna a parte gli outlier.

Una mediana non centrata nella scatola o baffi di lunghezza diversa indicano asimmetria.

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

• La moda può non essere unica.
• Nel calcolo del percentile: se $kn/100$ è intero si fa la media di due dati.
• Mediana = 50° percentile = $Q_2$.
• Le Tukey fences partono dai quartili, non dalla media.
• Bowley ignora le code; per le code servono Kelly o Yule-Kendall.

8. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.