Lezione 5. L'indipendenza

In questa lezione

Quando due eventi sono indipendenti?
Quando più eventi sono indipendenti?
Quali proprietà hanno gli eventi indipendenti?
Che errore di indipendenza ha causato il caso Sally Clark?
Come si costruisce uno schema di prove ripetute e indipendenti?
Dove si usano le prove indipendenti nella pratica?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Quando due eventi sono indipendenti?

Intuizione: il verificarsi di uno non cambia la probabilità dell'altro, cioè $P(B\mid A)=P(B)$ . Moltiplicando per $P(A)$ si ottiene la definizione:

P(A\cap B)=P(A)\,P(B).

Esempio. Tre lanci di moneta equilibrata: «testa al primo» e «croce al terzo» hanno probabilità $1/2$ ciascuno e la loro intersezione ha probabilità $2/8=1/4=\frac12\cdot\frac12$ .

Si parla di indipendenza stocastica: è una proprietà dei numeri, non sempre del significato. Esempio: $A'$ = «almeno due teste» e $B'$ = «una sola croce nei primi due lanci» hanno $P(A')=P(B')=\frac12$ e $P(A'\cap B')=\frac14$ : sono indipendenti secondo la definizione, anche se logicamente collegati.

2. Quando più eventi sono indipendenti?

Una famiglia $\{A_i\}_{i\in I}$ è indipendente se per ogni sottoinsieme finito $J\subseteq I$ :

P\Big(\bigcap_{j\in J}A_j\Big)=\prod_{j\in J}P(A_j).

Controesempio: indipendenti a coppie ma non nel complesso. Tre lanci; $A$ = «primo = secondo», $B$ = «secondo = terzo», $C$ = «terzo = primo».

Quantità	Valore
$P(A)=P(B)=P(C)$	$1/2$
Ogni intersezione a due	$1/4$ (= prodotto: indipendenza a coppie)
$P(A\cap B\cap C)$	$1/4\neq\frac18=P(A)P(B)P(C)$

Se due eventi si sono verificati, anche il terzo è certo: l'informazione delle coppie coincide con quella della terna.

3. Quali proprietà hanno gli eventi indipendenti?

Proprietà	Motivo
Due eventi indipendenti con probabilità positiva non sono mai disgiunti	Se $A\cap B=\emptyset$ allora $0=P(A)P(B)$ : uno dei due ha probabilità 0
Se $A,B$ sono indipendenti, lo sono anche $A,B^c$	$P(A\cap B^c)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(B^c)$
$A_1,\dots,A_n$ indipendenti $\iff$ $P(B_1\cap\dots\cap B_n)=\prod_iP(B_i)$ per ogni scelta $B_i\in\{A_i,A_i^c\}$	Dimostrazione per induzione con $P(A^c\cap E)=P(E)-P(A\cap E)$
Sostituendo alcuni eventi con i complementari si resta indipendenti	Conseguenza della riga precedente

4. Che errore di indipendenza ha causato il caso Sally Clark?

Regno Unito, 1999. Due figli morti in culla a pochi mesi di distanza. L'esperto dell'accusa stimò la probabilità di due morti per SIDS nella stessa famiglia come

\Big(\frac1{8543}\Big)^2\approx\frac1{73\,000\,000}.

Errore	Perché è un errore
Assumere l'indipendenza (elevare al quadrato)	In una famiglia con un caso di SIDS il rischio di un secondo è 5–10 volte più alto: genetica, ambiente, condizioni comuni
Valore di partenza discutibile	La probabilità di SIDS nel periodo era circa $1{,}5\cdot10^{-3}$
Errore del procuratore	$P(\text{due SIDS})$ non è la probabilità di innocenza: va confrontata con l'infanticidio, circa 100 volte più raro della SIDS

Con Bayes, se $E$ = «due morti per SIDS», $A$ = «uccisi dalla madre», $C$ = «altre cause», $D=E\cup A\cup C$ : $P(E\mid D)=\frac1{1+\frac{P(C)+P(A)}{P(E)}}.$ L'ordine di grandezza plausibile è $10^{-2}$ , non $10^{-7}$ . La condanna fu annullata nel 2003.

5. Come si costruisce uno schema di prove ripetute e indipendenti?

$n$ prove con due esiti (successo 1, insuccesso 0) e $P(\text{successo})=p$ .

Spazio degli esiti: $\Omega=\{(\omega_1,\dots,\omega_n):\omega_i\in\{0,1\}\}$ .
Evento «successo alla prova $k$ »: $C_k=\{\omega_k=1\}$ , con $P(C_k)=p$ e $C_k$ indipendenti.
Ogni esito è un'intersezione di $C_k$ e $C_k^c$ , quindi $P(\{(\omega_1,\dots,\omega_n)\})=p^{\#\{k:\omega_k=1\}}(1-p)^{\#\{k:\omega_k=0\}}.$

Evento	Probabilità	Idea
Almeno un successo in $n$ prove	$1-(1-p)^n$	Complementare di «tutti insuccessi»
Esattamente $k$ successi	$\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$	Scelgo quali prove riescono
Primo successo alla prova $l$	$p(1-p)^{l-1}$	$l-1$ insuccessi, poi un successo

Esempio svolto. Quanti lanci di moneta ( $p=\frac12$ ) servono per avere almeno una testa con probabilità 99,99%? Serve $(1/2)^n\le10^{-4}$ , cioè $n\ge4\ln10/\ln2\approx13{,}3$ : bastano 14 lanci.

6. Dove si usano le prove indipendenti nella pratica?

Risposta randomizzata (modello della domanda non correlata). Per domande sensibili, ogni intervistato usa un meccanismo casuale privato:

con probabilità $\alpha$ risponde alla domanda sensibile ( $P(\text{sì})=p$ , incognita);
con probabilità $1-\alpha$ risponde a una domanda innocua con $P(\text{sì})=p_1$ nota.

Se la frazione osservata di «sì» è $p_2$ , allora $p_2=\alpha p+(1-\alpha)p_1$ e $p=\frac{p_2-(1-\alpha)p_1}{\alpha}.$ Nessuna risposta singola rivela la verità sull'individuo. Limite: se $p$ è molto piccolo servono campioni enormi.

Prova a conoscenza zero. A vuole convincere B di saper distinguere due oggetti senza dire come. B mostra gli oggetti in ordine casuale $n$ volte. Chi tira a indovinare riesce sempre con probabilità $(1/2)^n$ : con $n=20$ meno di una su un milione.

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Disgiunti non vuol dire indipendenti: eventi disgiunti con probabilità positiva sono sempre dipendenti.
Indipendenza a coppie non basta per tre o più eventi.
Elevare al quadrato una probabilità richiede indipendenza: errore del caso Sally Clark.
L'indipendenza è un'ipotesi del modello, da giustificare con i dati.
Indipendenza stocastica non è indipendenza logica: si verifica solo con i numeri.

8. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.