Lezione 8. Variabili aleatorie indipendenti

In questa lezione

Che cos'è un vettore aleatorio?
Che differenza c'è tra legge congiunta e marginali?
Quali marginali hanno le estrazioni da un'urna?
Quando più variabili aleatorie sono indipendenti?
Qual è la densità della somma di variabili indipendenti?
Come si trovano le leggi di massimo e minimo?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cos'è un vettore aleatorio?

Date $X_1,\dots,X_n$ sullo stesso spazio di probabilità, $X=(X_1,\dots,X_n)$ è una funzione a valori nel prodotto $\mathcal X_1\times\dots\times\mathcal X_n$ .

Perché sia una v.a. serve una σ-algebra sul prodotto. Si usa la σ-algebra prodotto: quella generata dai rettangoli $F_1\times\dots\times F_n$ , con $F_i\in\mathcal F_i$ . Infatti $\{X\in F_1\times\dots\times F_n\}=\{X_1\in F_1\}\cap\dots\cap\{X_n\in F_n\}\in\mathcal E.$

Criterio utile. Per verificare che $X$ è misurabile basta controllare le preimmagini di una famiglia di generatori della σ-algebra di arrivo.

2. Che differenza c'è tra legge congiunta e marginali?

Nome	È la legge di	Informazione
Congiunta	$X=(X_1,\dots,X_n)$	Tutto: anche i legami tra le componenti
Marginale	Una componente $X_i=\mathrm{pr}_i\circ X$	Solo la singola variabile

Dalla congiunta si ricavano le marginali, non il viceversa. Nel caso discreto: $P(X_i=x_i)=\sum_{x:\;x_i\text{ fissato}}p_X(x).$

Esempio: stesse marginali, congiunte diverse. Due monete, $X_i\sim\mathrm{Be}(\frac12)$ .

Vettore	Valori possibili	Marginali
$(X_1,X_2)$	$(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ , ciascuno $\frac14$	$\mathrm{Be}(\frac12)$ , $\mathrm{Be}(\frac12)$
$(X_1,X_1)$	$(0,0),(1,1)$ , ciascuno $\frac12$	$\mathrm{Be}(\frac12)$ , $\mathrm{Be}(\frac12)$
$(X_2,1-X_2)$	$(0,1),(1,0)$ , ciascuno $\frac12$	$\mathrm{Be}(\frac12)$ , $\mathrm{Be}(\frac12)$

3. Quali marginali hanno le estrazioni da un'urna?

Urna con $n$ palline numerate; $k$ estrazioni; $X_i$ = pallina dell'estrazione $i$ .

Modello	Densità congiunta	Marginale di ogni $X_i$
Con re-immissione	$\dfrac1{n^k}$ per ogni sequenza	Uniforme su $\{1,\dots,n\}$
Senza re-immissione	$\dfrac{(n-k)!}{n!}$ per sequenze senza ripetizioni, 0 altrimenti	Uniforme su $\{1,\dots,n\}$

Anche qui le marginali coincidono ma le congiunte no: senza re-immissione le estrazioni sono legate.

4. Quando più variabili aleatorie sono indipendenti?

$\{X_i\}_{i\in I}$ sono indipendenti se per ogni $J\subseteq I$ finito e ogni scelta di $A_j\in\mathcal F_j$ :

P\Big(\bigcap_{j\in J}\{X_j\in A_j\}\Big)=\prod_{j\in J}P(X_j\in A_j).

Risultato	Enunciato
Criterio discreto	$X_1,\dots,X_n$ discrete sono indipendenti $\iff$ $p_X(x_1,\dots,x_n)=p_{X_1}(x_1)\cdots p_{X_n}(x_n)$
Dipende solo dalla legge	Se $(X_1,\dots,X_n)$ e $(X_1',\dots,X_n')$ hanno la stessa legge congiunta e le prime sono indipendenti, lo sono anche le seconde
Funzioni di gruppi disgiunti	$g(X_j:j\in J)$ e $h(X_l:l\notin J)$ sono indipendenti

5. Qual è la densità della somma di variabili indipendenti?

Per $Z=X_1+X_2$ con $X_1,X_2$ discrete e indipendenti:

p_Z(z)=\sum_x p_{X_1}(z-x)\,p_{X_2}(x)=(p_{X_1}*p_{X_2})(z).

L'operazione $*$ si chiama convoluzione; è associativa, quindi per $n$ variabili $p_Z=p_{X_1}*\dots*p_{X_n}$ .

Esempio. Due Bernoulli $(\frac12)$ indipendenti: la somma vale 0, 1, 2 con probabilità $\frac14,\frac12,\frac14$ . La somma di due dadi (lezione 7) è la convoluzione di due uniformi.

6. Come si trovano le leggi di massimo e minimo?

Conviene usare la funzione di ripartizione. Con $X_1,\dots,X_n$ indipendenti:

Variabile	Idea	Ripartizione
$M=\max_i X_i$	$M\le x\iff$ tutte le $X_i\le x$	$F_M(x)=\prod_i F_{X_i}(x)$
$W=\min_i X_i$	$W>x\iff$ tutte le $X_i>x$	$F_W(x)=1-\prod_i\big(1-F_{X_i}(x)\big)$

Esempio svolto: due dadi. $P(M\le5)=(5/6)^2=25/36$ , quindi $P(\text{massimo}=6)=11/36$ . Analogamente $P(W>1)=(5/6)^2$ , quindi $P(\text{minimo}=1)=11/36$ .

Senza indipendenza le formule falliscono. Con $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ , $Y\sim U(n)$ indipendenti e $Z=X+Y$ , le variabili $Z$ e $Y$ non sono indipendenti: in $t=1$ si ha $F_W(1)=\frac1n\,F_X(0)$ per $W=\max(Z,Y)$ , mentre $F_Y(1)F_Z(1)=\frac1{n^2}F_X(0)$ .

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Le marginali non determinano la congiunta. Servono ipotesi in più, per esempio l'indipendenza.
Il criterio di fattorizzazione delle densità vale per le discrete; in generale si usa la definizione con gli eventi.
Per il minimo si lavora con $P(W>x)$ , poi si passa al complementare.
Somma, massimo e minimo con queste formule richiedono indipendenza.
Senza re-immissione le estrazioni hanno marginali uniformi ma non sono indipendenti.

8. Quiz della lezione (10 domande)

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