Lezione 13. Esercitazione sulle variabili aleatorie assolutamente continue

In questa lezione

Che cosa dice la formula di trasferimento?
Quanto valgono valor medio e varianza delle leggi continue principali?
Come si calcolano i conti principali?
Come si trova la costante di una densità e il suo valor medio?
Che cosa succede quando un momento è infinito?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cosa dice la formula di trasferimento?

Se $X$ è assolutamente continua con densità $f_X$ e $g$ è misurabile: $E[g(X)]=\int_{\mathbb R}g(s)\,f_X(s)\,ds,$ quando l'integrale di $g^+f_X$ o di $g^-f_X$ è finito. È l'analogo di $E[g(X)]=\sum_xg(x)p_X(x)$ per le discrete.

Dimostrazione in tre passi (come per la linearità):

$g$ a scala: $E[\sum c_i\chi_{A_i}(X)]=\sum c_iP(X\in A_i)=\sum c_i\int_{A_i}f_X$ .
$g\ge0$ : si approssima dal basso con funzioni a scala $g_n\uparrow g$ e si usa la convergenza monotona.
$g$ qualsiasi: si scrive $g=g^+-g^-$ .

2. Quanto valgono valor medio e varianza delle leggi continue principali?

Si usa $\mathrm{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2$ .

Legge	$E[X]$	$E[X^2]$	$\mathrm{Var}[X]$
Uniforme $[a,b]$	$\dfrac{a+b}2$	$\dfrac{a^2+ab+b^2}3$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
Esponenziale $\mathrm{Exp}(\lambda)$	$\dfrac1\lambda$	$\dfrac2{\lambda^2}$	$\dfrac1{\lambda^2}$
Normale $N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2+\mu^2$	$\sigma^2$
Gamma $\Gamma(\alpha,\lambda)$	$\dfrac\alpha\lambda$	$\dfrac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}$	$\dfrac\alpha{\lambda^2}$

Momenti della Gamma. $E[X^k]=\dfrac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+k-1)}{\lambda^k}$ . Con $\alpha=1$ si ritrovano quelli dell'esponenziale.

Uniforme, momenti. $E[X^n]=\dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}$ .

3. Come si calcolano i conti principali?

Calcolo	Tecnica
$E[X]$ esponenziale	Per parti: $\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx=\int_0^\infty e^{-\lambda x}dx=\frac1\lambda$
$E[X]$ normale	Si scrive $x=(x-\mu)+\mu$ : il primo pezzo è dispari e si annulla
$\mathrm{Var}$ normale	Cambio $s=(x-\mu)/(\sqrt2\sigma)$ e per parti: $\int s^2e^{-s^2}ds=\frac{\sqrt\pi}2$
$E[X]$ Gamma	Per parti, o $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$

4. Come si trova la costante di una densità e il suo valor medio?

Esercizio 1. $f_X(x)=c\,x|\log x|$ su $(0,2]$ .

Primitiva per parti: $\int x\log x\,dx=\frac{x^2}2\log x-\frac{x^2}4$ .
$\int_0^1x\log x=-\frac14$ e $\int_1^2x\log x=2\log2-\frac34$ , quindi $\int_0^2x|\log x|=2\log2-\frac12$ .
$c=\big(2\log2-\frac12\big)^{-1}\approx1{,}128$ .
$E[X]=c\big(\frac83\log2-\frac23\big)=\frac43$ .
$E[\log X]=\dfrac{(2\log2-1)^2}{4\log2-1}\approx0{,}084$ (sostituzione $x=e^s$ ).

5. Che cosa succede quando un momento è infinito?

Densità	Costante	$E[X]$	$E[X^2]$
$\dfrac{c}{(1+x^2)^2}$	$c=\frac2\pi$	0 (funzione dispari)	1
$\dfrac{c}{(1+x^2)^{3/2}}$	$c=\frac12$	0 (funzione dispari)	$+\infty$

Nel secondo caso $x^2f_X(x)\sim\frac1{2|x|}$ all'infinito, che non è integrabile. È una v.a. con valor medio finito ma varianza infinita.

Per la prima densità $x^nf_X(x)\sim x^{n-4}$ : i momenti di ordine $n\ge3$ non esistono (finiti).

Regola pratica. Se $f_X(x)\sim|x|^{-p}$ all'infinito, $E[|X|^n]<\infty$ se e solo se $n<p-1$ .

6. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

Per $E[g(X)]$ non serve la legge di $g(X)$ : basta integrare $g$ contro $f_X$ .
«Funzione dispari $\Rightarrow$ integrale 0» vale solo se l'integrale converge assolutamente.
Esponenziale: la media è $1/\lambda$ , non $\lambda$ .
Uniforme: la varianza ha 12 al denominatore, non 2 o 3.
Una media finita non garantisce varianza finita.

7. Quiz della lezione (10 domande)

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