Lezione 22. Le grandezze che sintetizzano i dati

In questa lezione

Che cosa sono media campionaria e outlier?
Che cosa sono trimmed mean e mediana?
In che senso media e mediana sono il centro dei dati?
Come si misura la dispersione dei dati?
Come cambiano media e varianza con una trasformazione dei dati?
Che cosa insegnano gli esempi?
Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?
Quiz della lezione (10 domande)

1. Che cosa sono media campionaria e outlier?

Media campionaria di $x_1,\dots,x_n$ : $\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^nx_i$ . Può non essere uno dei dati osservati.

«Campionaria» vuol dire calcolata da un campione. Molte grandezze hanno una controparte probabilistica (lezioni 10 e 18) con significato diverso.

Outlier. Un dato raro, tra i più piccoli o i più grandi, e molto lontano dalla maggior parte delle osservazioni. Può essere un errore di misura o un evento raro ma reale.

Esempio. Dati $1,1,1,1,1,2,2,2,2,50$ : $\bar x=\frac{5+8+50}{10}=6{,}3$ , lontana da quasi tutti i dati. Il 50 è un outlier.

Non-esempio. Dati concentrati intorno a 1 e a 3 con frequenze simili: i due gruppi sono lontani, ma nessuno è raro, quindi non ci sono outlier.

2. Che cosa sono trimmed mean e mediana?

Indice	Come si calcola	Sui dati $1,1,1,1,1,2,2,2,2,50$
Media	$\frac1n\sum x_i$	6,3
Trimmed mean al 10%	Si toglie il 10% dei dati più piccoli e il 10% dei più grandi, poi si fa la media	1,5
Mediana	Dati ordinati: valore centrale ( $n$ dispari) o media dei due centrali ( $n$ pari)	$\frac{1+2}2=1{,}5$

La percentuale della trimmed mean (di solito 5–20%) va scelta e dichiarata. La mediana è la versione estrema: è quasi insensibile agli outlier.

Media e mediana sono diverse. $2,3,\dots,15,31$ ha media 10 e mediana 9; $1,2,3,7,8,9,10,11,12,13,17,18,19,20,21$ ha media 11,4 e mediana 11.

Ricalcolo: nella dispensa il primo campione termina con 28 (media 9,8, non 10) e il secondo ha media 11,4 (non 10). Qui il primo è corretto con 31 al posto di 28.

Distribuzione simmetrica rispetto a $y_0$ : se $x_i$ c'è, c'è anche $2y_0-x_i$ con la stessa frequenza. Allora media = mediana = $y_0$ . Una grande differenza tra media e mediana segnala asimmetria.

3. In che senso media e mediana sono il centro dei dati?

Funzione da minimizzare	Punto di minimo	Motivo
$F_2(x)=\sum_i(x_i-x)^2$	La media $\bar x$ (unico)	$F_2'(x)=2(nx-\sum x_i)=0$
$F_1(x)=\sum_i\|x-x_i\|$	La mediana (o un segmento con la mediana al centro, se $n$ è pari)	$F_1'(x)=\#\{x_i<x\}-\#\{x_i>x\}$ cambia segno alla mediana

Media e mediana sono i punti di minima distanza dai dati, con due distanze diverse. Più in generale, il minimo di $F_p(x)=\sum|x-x_i|^p$ si chiama $L^p$ -center (M-estimatore di posizione).

4. Come si misura la dispersione dei dati?

Indice	Formula	Sui dati $1,1,1,1,1,2,2,2,2,50$
Varianza campionaria	$\sigma^2=\dfrac1{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2=\dfrac{\sum x_i^2-n\bar x^2}{n-1}$	$\dfrac{2521-396{,}9}9\approx236{,}0$
Deviazione standard	$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$	$\approx15{,}4$
Scostamento semplice medio	$\frac1n\sum\|x_i-\bar x\|$	8,74
Scostamento semplice mediano	$\frac1n\sum\|x_i-m\|$ , con $m$ mediana	5,3

La varianza pesa gli scarti al quadrato: l'outlier 50 la fa esplodere molto più degli scostamenti semplici.

Nella dispensa gli scostamenti semplici di questo esempio sono divisi per 9 (≈ 9,7 e ≈ 5,8); con la definizione data, che divide per $n=10$ , si ottengono 8,74 e 5,3.

5. Come cambiano media e varianza con una trasformazione dei dati?

Trasformazione lineare-affine: $y_i=ax_i+b$ , con $a\neq0$ (per esempio un cambio di unità di misura).

Grandezza	Trasformata
Media	$\bar y=a\bar x+b$
Varianza	$\sigma_y^2=a^2\sigma_x^2$
Mediana	$m_y=am_x+b$
Scostamento semplice	$s_y=\|a\|\,s_x$

Standardizzazione: $z_i=\dfrac{x_i-\bar x}{\sigma}$ ha media 0 e varianza 1. Serve a confrontare data set diversi e ad applicare il teorema limite centrale.

Proprietà	Enunciato
Scarti dalla media	$\sum_i(x_i-\bar x)=0$
Positività	$\sigma^2\ge0$ ; $\sigma^2=0$ se e solo se tutti i dati sono uguali

6. Che cosa insegnano gli esempi?

Stessa media e stessa varianza non vuol dire stessa distribuzione. Due campioni di 25 dati con $\mu$ e $\sigma^2$ uguali hanno forme molto diverse.
Pochi dati estremi cambiano molto un indice: togliendo due outlier la varianza di un campione scende da circa 0,27 a circa 0,08.
La media si comporta come un baricentro: con dati intorno a −1 e 1, si sposta verso il gruppo più numeroso, anche se non coincide con nessun dato.

7. Quali sono le trappole tipiche per i concetti di questa lezione?

La media è sensibile agli outlier, la mediana no.
Con $n$ pari la mediana è la media dei due valori centrali.
La varianza campionaria divide per $n-1$ .
Con $y=ax+b$ la varianza si moltiplica per $a^2$ ; la $b$ non conta.
Indici uguali non garantiscono distribuzioni uguali.

8. Quiz della lezione (10 domande)

Domande di ripasso create per questa scheda a partire dalla dispensa (non sono il test ufficiale della piattaforma). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.