Lezione 1Probabilità
Cos'è la probabilità
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, E, P): esiti possibili, famiglia degli eventi (una σ-algebra) e una funzione P con P(Ω) = 1 e additività numerabile.
Schede di studio e quiz
31 lezioni in 4 macroargomenti. Ogni scheda è organizzata a domande numerate: concetti, formule, esempi svolti, trappole e un quiz di ripasso di 10 domande con spiegazione.
Lezione 1Probabilità
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, E, P): esiti possibili, famiglia degli eventi (una σ-algebra) e una funzione P con P(Ω) = 1 e additività numerabile.
Lezione 2Probabilità
Su uno spazio finito con probabilità uniforme P(E) = |E|/|Ω|: per calcolare probabilità bisogna contare. Si contano disposizioni (l'ordine conta) e combinazioni (l'ordine…
Lezione 3Probabilità
Sapere che B si è verificato riduce lo spazio degli esiti: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Da qui la regola del prodotto e la formula di disintegrazione (probabilità totali).
Lezione 4Probabilità
Il condizionamento non è simmetrico: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B). Con la formula di disintegrazione spiega il paradosso del test clinico e gli errori del procuratore.
Lezione 5Probabilità
Due eventi sono indipendenti se P(A∩B) = P(A)P(B). Per più eventi la regola deve valere per ogni sotto-famiglia finita: l'indipendenza a coppie non basta.
Lezione 6Probabilità
Esercizi svolti su probabilità condizionata, Bayes, probabilità totali, estrazioni da urne, permutazioni e cicli, formula di inclusione-esclusione.
Lezione 7Variabili aleatorie
Una variabile aleatoria è una funzione misurabile sullo spazio di probabilità. La sua legge è la probabilità che induce sui valori; su ℝ la descrive la funzione di…
Lezione 8Variabili aleatorie
Più variabili insieme formano un vettore aleatorio: la legge congiunta contiene più informazione delle marginali. Le variabili sono indipendenti se la congiunta si…
Lezione 9Variabili aleatorie
Esercizi svolti: quando una funzione è una densità discreta, come si legge la funzione di ripartizione, la legge geometrica nei giochi a turni, l'urna di Pólya e la legge…
Lezione 10Variabili aleatorie
Il valor medio è la media degli esiti pesata con le loro probabilità: E[X] = Σ x·P(X = x) per le discrete. In generale si definisce come estremo superiore sulle variabili…
Lezione 11Variabili aleatorie
Su [0,1] con la misura di Lebesgue il valor medio di una funzione è il suo integrale di Lebesgue, che estende quello di Riemann. I teoremi di convergenza monotona e…
Lezione 12Variabili aleatorie
Una v.a. è assolutamente continua se la sua ripartizione è l'integrale di una densità f ≥ 0 con integrale 1. Ogni singolo valore ha probabilità 0. Esempi fondamentali:…
Lezione 13Variabili aleatorie
La formula di trasferimento E[g(X)] = ∫ g(s) f_X(s) ds permette di calcolare valori medi e varianze delle leggi continue: uniforme, esponenziale, normale, Gamma. Esercizi…
Lezione 14Variabili aleatorie
Un vettore aleatorio è assolutamente continuo se la sua legge è un integrale multiplo di una densità congiunta. Le marginali si ottengono integrando le altre variabili…
Lezione 15Variabili aleatorie
Valori medi delle leggi discrete principali (Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, geometrica). Tecniche: linearità con le indicatrici, la formula E[Z] = Σ P(Z ≥ k),…
Lezione 16Comportamenti asintotici · scheda breve
Una successione di v.a. può convergere in modi diversi: quasi certamente, in probabilità, in legge. Dal più forte al più debole: quasi certa ⇒ in probabilità ⇒ in legge.
Lezione 17Comportamenti asintotici
Con variabili i.i.d. di media finita μ, la media campionaria converge a μ: in probabilità (legge debole) e quasi certamente (legge forte). Ne seguono l'interpretazione…
Lezione 18Comportamenti asintotici
La varianza è il valor medio dello scarto quadratico dalla media: Var(X) = E[X²] − E[X]². La varianza campionaria con 1/(n−1) ha valor medio σ². Si calcolano le varianze…
Lezione 19Comportamenti asintotici
Con variabili i.i.d. di media μ e varianza σ² finita, la media campionaria standardizzata converge in legge alla normale standard: per n grande X̄ ≈ N(μ, σ²/n).…
Lezione 20Comportamenti asintotici · scheda breve
Scheda di riepilogo della sezione: tipi di convergenza, disuguaglianze di Markov e Chebyshev, legge dei grandi numeri, teorema limite centrale e come scegliere lo…
Lezione 21Statistica
I dati possono essere quantitativi o qualitativi (ordinali o nominali). Si riassumono con frequenze assolute, relative e cumulate e si rappresentano con il grafico…
Lezione 22Statistica
Il centro dei dati si misura con media, trimmed mean e mediana; la dispersione con varianza, deviazione standard e scostamento semplice medio. La media minimizza gli…
Lezione 23Statistica
La disuguaglianza di Chebyshev garantisce, per ogni data set, una quota minima di dati vicino alla media. Gli indici di Fisher e di Groeneveld-Meeden misurano…
Lezione 24Statistica
Moda, percentili e quartili usano solo frequenze e ordine dei dati, non la scala. L'intervallo interquartile misura la dispersione; le Tukey fences definiscono gli…
Lezione 25Statistica
Una distribuzione è concentrata se le frequenze si accumulano su pochi valori, omogenea se sono quasi uguali. Si misura con l'entropia di Shannon e l'indice di…
Lezione 26Statistica
Una serie storica è una successione di osservazioni nel tempo, con componenti di trend, stagionalità, ciclo e irregolare. Gli indici semplici (base fissa o mobile) e…
Lezione 27Statistica
Covarianza e indice di correlazione misurano l'associazione lineare tra due variabili numeriche; la correlazione non implica causalità. La retta di regressione dei minimi…
Lezione 28Statistica
Con dati vettoriali la media è un vettore e la covarianza una matrice. Le correlazioni canoniche estendono la correlazione; i minimi quadrati danno A = Cᵗ Σx⁻¹; R² misura…
Lezione 29Statistica
R è un linguaggio open source per il calcolo statistico; RStudio è l'ambiente che ne semplifica l'uso. Oggetti principali: vettori, matrici, liste, data frame, funzioni,…
Lezione 30Statistica
Esercizi svolti con l'approssimazione normale: intervalli per il numero di teste, verifica del rapporto tra i sessi alla nascita, mancini con la correzione di continuità,…
Lezione 31Statistica
Il campione è un vettore di variabili aleatorie i.i.d. con legge nota a meno di un parametro θ. Una statistica è una funzione del campione; usata per stimare θ si chiama…